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| Aufgabe | a)Von einer geometrischen Reihe kennt man [mm] $s_4 [/mm] = [mm] \frac{15}{2}$ [/mm] und [mm] $q=\frac{1}{2}$. [/mm] Berechne [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_4.
[/mm]
b) Von einer geom. Folge kennt man [mm] b_2 [/mm] = 1/9 und [mm] b_7 [/mm] = 27. Berechne [mm] b_1, [/mm] q und [mm] s_5. [/mm] |
Mir ist nicht klar ob das erste Glied nun [mm] b_1 [/mm] oder [mm] b_0 [/mm] ist? - gehe aber davon aus, dass es [mm] b_0 [/mm] ist - da ja auch die geometrische Summe bei 0 beginnt.
Nun ist doch
[mm] $\frac{15}{2} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{4-1}b_0 \cdot (1/2)^i [/mm] = [mm] b_0 \cdot \frac{1-\frac{1}{2}^4}{1-\frac{1}{2}} [/mm] $ [mm] \Rightarrow b_0 [/mm] = 4.
da nun ja [mm] b_n [/mm] = [mm] b_0 \cdot q^n [/mm] folgt
[mm] b_1 [/mm] = 2 und [mm] b_4 [/mm] = [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
adb)
da ja [mm] \frac{b_{n+1}}{b_n} [/mm] =q muss doch [mm] \frac{b_7}{b_2} [/mm] = [mm] q^5 [/mm] gelten.
Damit folgt [mm] q^5 [/mm] = [mm] \frac{27}{1/9} [/mm]
liefert als reelle Lösung q=3.
Aber das liefert doch eine divergente Reihe ... worin liegt er Fehler ?
.. andererseits ist mir die unendliche Reihe ja egal und die endliche kann ich ohnehin bestimmen -
dh.
[mm] b_7 [/mm] = [mm] b_1 \cdot 3^6 \Rightarrow b_1 [/mm] = [mm] \frac{27}{729}
[/mm]
und [mm] s_5 [/mm] = [mm] \frac{27}{729} \cdot \frac{1-3^5}{1-3} [/mm] = [mm] \frac{121}{27}
[/mm]
Passt das ?
Lg Peter
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> a)Von einer geometrischen Reihe kennt man [mm]s_4 = \frac{15}{2}[/mm]
> und [mm]q=\frac{1}{2}[/mm]. Berechne [mm]b_1[/mm] und [mm]b_4.[/mm]
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> b) Von einer geom. Folge kennt man [mm]b_2[/mm] = 1/9 und [mm]b_7[/mm] = 27.
> Berechne [mm]b_1,[/mm] q und [mm]s_5.[/mm]
>
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> Mir ist nicht klar ob das erste Glied nun [mm]b_1[/mm] oder [mm]b_0[/mm] ist?
> - gehe aber davon aus, dass es [mm]b_0[/mm] ist - da ja auch die
> geometrische Summe bei 0 beginnt.
Wer sagt das? Das muss nicht so sein, wenn du Kühe zählst, fängst du ja auch nicht mit 0 an. Das ist - je nach Lehrbuch - eine Vereinbarungssache.
>
> Nun ist doch
>
> [mm]\frac{15}{2} = \sum_{i=0}^{4-1}b_0 \cdot (1/2)^i = b_0 \cdot \frac{1-\frac{1}{2}^4}{1-\frac{1}{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow b_0[/mm] = 4.
>
> da nun ja [mm]b_n[/mm] = [mm]b_0 \cdot q^n[/mm] folgt
>
> [mm]b_1[/mm] = 2 und [mm]b_4[/mm] = [mm]\frac{1}{4}[/mm]
Dann machen wir mal die Probe:
4+2+1+1/2+1/4 =31/4 vom Nullten bis zum 4. Glied.
Besser passt 4+2+1+1/2 =15/2 vom 1. bis zum 4. Glied.
Wenn es also 5 Glieder sind, vom 0. bis zum 4., hättest du mit [mm] (1/2)^5 [/mm] in der Formel rechnen müssen. Dann wäre die Lösung aber gar nicht mehr so schön anzusehen...
>
> adb)
>
> da ja [mm]\frac{b_{n+1}}{b_n}[/mm] =q muss doch [mm]\frac{b_7}{b_2}[/mm] =
> [mm]q^5[/mm] gelten.
>
> Damit folgt [mm]q^5[/mm] = [mm]\frac{27}{1/9}[/mm]
>
> liefert als reelle Lösung q=3.
>
> Aber das liefert doch eine divergente Reihe ... worin liegt
> er Fehler ?
Nirgendwo!
>
> .. andererseits ist mir die unendliche Reihe ja egal und
> die endliche kann ich ohnehin bestimmen -
>
> dh.
Genau: Warum sollte die Reihe konvergieren, du hast doch nur endlich viele Glieder zu betrachten?
>
> [mm]b_7[/mm] = [mm]b_1 \cdot 3^6 \Rightarrow b_1[/mm] = [mm]\frac{27}{729}[/mm]
= [mm]\frac{1}{27}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und [mm]s_5[/mm] = [mm]\frac{27}{729} \cdot \frac{1-3^5}{1-3}[/mm] =
> [mm]\frac{121}{27}[/mm]
>
> Passt das ?
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> Lg Peter
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