genau eine reelle Lsg zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Do 06.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Die Gleichung sin(x) = 1- [mm] x^{2} [/mm] besitzt in [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] genau eine reelle Lösung (Tipp: Monotonie) |
Hallo zusammen,
ich habe diese Aufgabe zu lösen, aber ich weiß leider nicht wie sie mit Verwendung der Monotonie gelöst werden soll. Könnte mir jemand vielleicht einen Tipp geben? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Do 06.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Zeigen Sie:
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> Die Gleichung sin(x) = 1- [mm]x^{2}[/mm] besitzt in
> [mm][0,\bruch{\pi}{2}][/mm] genau eine reelle Lösung (Tipp:
> Monotonie)
> Hallo zusammen,
>
> ich habe diese Aufgabe zu lösen, aber ich weiß leider
> nicht wie sie mit Verwendung der Monotonie gelöst werden
> soll. Könnte mir jemand vielleicht einen Tipp geben?
> Danke!
Betrachte die folgende Abbildung:
[mm] I:=[0,\frac{\pi}{2}]\to\IR [/mm] mit [mm] f(x):=\sin(x)+x^2-1
[/mm]
Die Abbildung $f$ ist offenbar stetig.
Weiterhin gilt folgendes:
$f(0)=-1<0$
[mm] $f(\frac{\pi}{2})>0$
[/mm]
Was gilt nun? Wenn du das hast, dann denk an den Tipp.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 06.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Wir haben jetzt nach dem ZWS ein Intervall gefunden worin ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Für x=0 monoton fallend und für x= [mm] \pi [/mm] monoton steigend. Daher müsste es nach dem ZWS eine Nullstelle der Funktion geben im Intervall [mm] x_{0}\in (0,\pi).
[/mm]
Stimmt das denn so? Wie kann ich nun von [mm] \pi [/mm] auf [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] schließen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Do 06.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Wir haben jetzt nach dem ZWS ein Intervall gefunden worin
> ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Für x=0 monoton fallend
> und für x= [mm]\pi[/mm] monoton steigend.
Nein, wie kommst du denn auf die Monotonie?
Zeige, dass die Funktion auf [mm] $I:=[0,\frac{\pi}{2}]$ [/mm] streng monoton wächst.
> Daher müsste es nach dem
> ZWS eine Nullstelle der Funktion geben im Intervall
> [mm]x_{0}\in (0,\pi).[/mm]
Sorry, ich meinte natürlich, dass folgendes gilt:
$f(0)<0$ und [mm] $f(\frac{\pi}{2})>0$
[/mm]
Damit existiert mindestens eine Nullstelle in [mm] (0,\frac{\pi}{2}).
[/mm]
> Stimmt das denn so? Wie kann ich nun von
> [mm]\pi[/mm] auf [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] schließen?
Jetzt denk nochmal an den Tipp.
Gruß
DieAcht
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Hallo Lisa,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Wir haben jetzt nach dem ZWS ein Intervall gefunden worin
> ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Für x=0 monoton fallend
> und für x= [mm]\pi[/mm] monoton steigend.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Daher müsste es nach dem
> ZWS eine Nullstelle der Funktion geben im Intervall
> [mm]x_{0}\in (0,\pi).[/mm]
Nein, die Monotonie ist hier (noch) nicht interessant. Es genügen die beiden Funktionswerte und die Stetigkeit.
> Stimmt das denn so? Wie kann ich nun von
> [mm]\pi[/mm] auf [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] schließen?
Gar nicht.
Besser, Du berechnest mal den Funktionswert von [mm] f(x)=\sin{x}+x^2-1 [/mm] an der Stelle [mm] x=\br{\pi}{2}.
[/mm]
Dann sagt Dir der ZWS immer noch, dass es mindestens eine Nullstelle in [mm] \left[0,\br{\pi}{2}\right] [/mm] gibt.
Der Tipp mit der Monotonie ist eigentlich nur dann hilfreich, wenn Du nun auch noch zeigst, dass es genau eine Nullstelle im untersuchten Intervall gibt.
Dazu ist aber mindestens noch ein Schritt mehr nötig...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Also müsste ich noch zeigen das die f(x) streng monoton steigend bzw. fallend ist? Denn genau dann, besitzt sie im Intervall genau eine Lsg??
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Hallo Lisa,
> Also müsste ich noch zeigen das die f(x) streng monoton
> steigend bzw. fallend ist? Denn genau dann, besitzt sie im
> Intervall genau eine Lsg??
Ja, genau.
Das ist zwar (gefühlt) nahezu offensichtlich, aber trotzdem nicht so einfach zu zeigen, wie man denkt.
Allein mit der ersten Ableitung wirst Du jedenfalls nicht "mal eben" hinkommen.
Probiers mal und zeig, wie weit Du kommst.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:51 Fr 07.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
Hier eine kleine Beweisskizze:
[mm] f:[0,\frac{\pi}{2}]\to\IR [/mm] mit [mm] f(x):=\sin(x)+x^2-1
[/mm]
[mm] I:=(0,\frac{\pi}{2})
[/mm]
1. [mm] $f''(x)\ge [/mm] 1>0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$
[mm] $\Rightarrow [/mm] f'(x)$ streng monoton steigend auf $I$ (*)
2. $f'$ stetig [mm] \land [/mm] $f'(0)=1$ [mm] \land [/mm] (*) [mm] $\Rightarrow f'(x)\ge [/mm] 1>0$ für alle [mm] $x\in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] f$ streng monoton steigend auf $I$ (**)
3. $f$ stetig [mm] \land [/mm] (**) [mm] \land [/mm] $f(0)<0$ [mm] \land $f(\frac{\pi}{2})>0$ \land [/mm] ZWS [mm] \Rightarrow \exists!\xi\in I:f(\xi)=0
[/mm]
Gruß
DieAcht
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