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Gegeben ist die Ebenenschar
E(a,b): x+(1-2a)y+bz=2 (a,b element R)
Aufgabe: Zeigen Sie, dass alle Ebenen E(a,b) einen gemeinsamen Punkt beseitzen und geben Sie diesen an!
In einer vorherigen Aufgabe musste ich bereits die Schnittgerade von E(0,1) und E(1,0) berechnen.
Gleichung: [mm] \vec{x}= \vektor{4\\0\\0}+r*\vektor{1\\1\\-2}
[/mm]
Ich habe mir überlegt, dass dieser gemeinsame Punkt aller Ebenen der Schar auf dieser Schnittgeraden liegen muss. Nun komme ich aber leider nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Do 27.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Julia
> Gegeben ist die Ebenenschar
> E(a,b): x+(1-2a)y+bz=2 (a,b element R)
>
> Aufgabe: Zeigen Sie, dass alle Ebenen E(a,b) einen
> gemeinsamen Punkt beseitzen und geben Sie diesen an!
>
Wenn du aus der gegebenen Ebenenschar eine Parameterdarstellung konstruierst, solltest du eine Darstellung zum Beispiel  in dieser Art erhalten:
$E(a,b) = [mm] \vektor{2\\0\\0}+\lambda*\vektor{2a-1\\1\\0}+\nu*\vektor{-b\\0\\1}$
[/mm]
erhalten.
An dieser Parameterdarstellung kannst du den festen Punkt direkt ablesen!
Hier wäre es zum Beispiel [mm] $\vektor{2\\0\\0}$
[/mm]
> In einer vorherigen Aufgabe musste ich bereits die
> Schnittgerade von E(0,1) und E(1,0) berechnen.
>
> Gleichung: [mm]\vec{x}= \vektor{4\\0\\0}+r*\vektor{1\\1\\-2}
[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Setze mal $r=0$ und dann in einer der Ebenengleichungen, dann siehst du, dass das nicht stimmt. Ich denke, es sollte eher so heissen:
[mm] $\vec{x}= \vektor{2\\0\\0}+r*\vektor{1\\1\\-2}$
[/mm]
Das war aber sicher nur ein Verschreiber deinerseits.
> Ich habe mir überlegt, dass dieser gemeinsame Punkt aller
> Ebenen der Schar auf dieser Schnittgeraden liegen muss.
Das ist ja gar keine Geradenschar mehr, sondern eine einzelne Gerade.
Du könntest aber diese Gerade noch mit einer dritten Ebene schneiden, zum Beispiel mit E(1,1). Und dann zeigen, dass der so erhaltene Schnittpunkt auf allen Ebenen E(a,b) liegt. Also einfach in der allgemeinen Ebenengleichung E(a,b) einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist, also für alle a und b.
Mit lieben Grüssen
Paul
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