gekoppelte Schwingung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 30.05.2010 | | Autor: | lisab |
| Aufgabe | | Zwei gleich Massen m hängen untereinander an zwei Federn jeweils gleicher Federkonstante k im Schwerefeld der Erde. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und geben Sie die Eigenschwingungen an. |
Ich habe folgende Gleichungen aufgestellt:
[mm] \overrightarrow{F} [/mm] = m [mm] \overrightarrow{\bruch{\delta^2 x1}{t^2}}=-k \overrightarrow{x1} [/mm] + k [mm] \overrightarrow{x2-x1} [/mm] - m [mm] \overrightarrow{g}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{F} [/mm] = m [mm] \overrightarrow{\bruch{\delta^2 x2}{t^2}}=- [/mm] k [mm] \overrightarrow{x2-x1} [/mm] - m [mm] \overrightarrow{g}
[/mm]
Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich diese inhomgene DGL lösen soll. Es wird ja sicher ein Ansatz mit cos sind...
|
|
| |
|
Hallo!
Aus praktischer Sicht könntest du den gravitations-Term erstmal streichen - es sollte klar sein, daß dieser eh nur die Ruhelage der Massen festlegt, und danach ist eigentlich nicht gefragt.
Weiterhin bleibt die Frage, ob nur senkrechte Bewegungen, oder auch seitliche betrachtet werden sollen. Der zweite Fall ist komplizierter, weil sich die Anzahl der Freiheitsgrade erhöht. Die Federkraft berechnet sich zudem aus der Dehnung der Feder, also nicht einfach aus der vektoriellen Auslenkung, sondern dem Betrag davon.
Daher denke ich, du meinst eher den ersten Fall.
Dann erübrigen sich schonmal die Vektorpfeile, wenn du nur eine Dimension betrachtest.
Schreibe deine Gleichung doch mal so:
[mm] m\ddot{x}_1=-kx_1+k(x_2-x_1)
[/mm]
[mm] m\ddot{x}_2=-k(x_2-x_1)
[/mm]
[mm] m\ddot{x}_1=-2kx_1+kx_2
[/mm]
[mm] m\ddot{x}_2= kx_1 -kx_2
[/mm]
Nun könntest du versuchen, eine Substitution für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] zu finden, die beide Gleichungen entkoppelt. Findest du sie nicht spontan, denk dran, daß man das als lineare Gleichung schreiben kann:
[mm] m\ddot{\vec{x}}=\mathbf{T}\vec{x}
[/mm]
Der nächste Schritt liegt in der Bestimmung der Eigenvektoren der Matrix und einer Koordinatentransformation in das Eigenvektorsystem. Dann sind die Gleichungen nämlich entkoppelt und sollten sich einfacher lösen lassen.
|
|
|
|
