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| Aufgabe | Für [mm] x(t),y(t) [/mm] sei folgender Zusammenhang gegeben:
[mm]\dot x(t)=a*y(t)[/mm]
[mm]\dot y(t)=b-a*x(t)[/mm]
Weiterhin gilt [mm]x(0)=c,y(0)=0[/mm].Lösen sie das DGLS für [mm] x(t)\text{ und } y(t) [/mm]
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Ok ,diese Aufgabe habe ich mir jetzt selbst ausgedacht, aber ich habe was sehr ähnliches Problem in einer Physikaufgabe .. wenn ich die grundzüge weiß,wie ich sowas lösen kann, dann komme ich schon selbst klar.Kann mir jemand mal vom prinzip her erklären ,wie ich sowas löse?
vielen danke schonmal im vorraus
adrian
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Hallo phili_guy,
> Für [mm]x(t),y(t)[/mm] sei folgender Zusammenhang gegeben:
> [mm]\dot x(t)=a*y(t)[/mm]
> [mm]\dot y(t)=b-a*x(t)[/mm]
> Weiterhin gilt
> [mm]x(0)=c,y(0)=0[/mm].Lösen sie das DGLS für [mm]x(t)\text{ und } y(t)[/mm]
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> Ok ,diese Aufgabe habe ich mir jetzt selbst ausgedacht,
> aber ich habe was sehr ähnliches Problem in einer
> Physikaufgabe .. wenn ich die grundzüge weiß,wie ich sowas
> lösen kann, dann komme ich schon selbst klar.Kann mir
> jemand mal vom prinzip her erklären ,wie ich sowas löse?
Die einfachste Methode ist wohl das in eine DGL 2. Ordnung in [mm]x\left(t\right)[/mm] umzuschreiben:
[mm]\dot{x}\left(t\right)=a*y\left(t\right) \Rightarrow x''\left(t\right)=a*\dot{y}\left(t\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow x''\left(t\right)=a*\left(b-a*x\left(t\right)\right)[/mm]
Mit dem Ansatz [mm]x\left(t\right)=e^{r*t}[/mm] findest Du dann die Lösungen.
Willst Du das DGL-System lösen, dann muß Du das erstmal umschreiben:
[mm]\pmat{\dot{x}\left(t\right) \\ \dot{y}\left(t\right)}=\pmat{0 & a \\ -a & 0}\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right)}+ \pmat{0 \\ b}[/mm]
Ist [mm]C:=\pmat{0 & a \\ -a & 0}, \ d:=\pmat{0 \\ b}[/mm]
Dann lautet das System:
[mm]\pmat{\dot{x}\left(t\right) \\ \dot{y}\left(t\right)}=C \pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right)}+ d[/mm]
Zunächst sind die Eigenwerte der Matrix C zu berechnen. Durch eine Transformationsmatrix T erhältst Du ein neues (homogenes) DGL-System
[mm]\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right)}=T*\pmat{\tilde{x}\left(t\right) \\ \tilde{y}\left(t\right)}[/mm]
Von dem neuen DGL-System kannst Du jetzt die Lösungen einfacher bestimmen, da die transformierte Matrix bei 2 verschiedenen Eigenwerten eine Diagonalmatrix ist.
[mm]\pmat{\dot{\tilde{x}}\left(t\right) \\ \dot{\tilde{y}}\left(t\right)}=\pmat{\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}}*\pmat{\tilde{x}\left(t\right) \\ \tilde{y}\left(t\right)}[/mm]
,wobei [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/mm] die Eigenwerte der Matrix C sind.
Um die Lösung des inhomogenen DGL-Systems zu bestimmen, wendest Du hier die Methode der ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten an.
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> vielen danke schonmal im vorraus
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> adrian
Gruß
MathePower
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