geeignete Liapunovfunktion < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:12 Fr 19.06.2009 | | Autor: | thomas |
| Aufgabe | Gegeben ist folgendes mathematische Modell eines nicht-linearen autonomen Systems
[mm] \bruch{d x_{1}}{dt} [/mm] = [mm] -x_{1} x_{2}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{d x_{2}}{dt} [/mm] = [mm] -x_{2}^{3} [/mm] - [mm] x_{1}^{3} [/mm]
mit der Ruhelage [mm] x_{0} [/mm] = 0.
i) Welche der Funktionen
[mm] V(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} (x_{1}^{4} [/mm] + 2 [mm] x_{2}^{2} [/mm] )
[mm] V(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} x_{1}^{2} [/mm] ( 1 + [mm] \bruch{1}{2} x_{2}^{2})
[/mm]
[mm] V(x_{1}, x_{2}) [/mm] = - [mm] (x_{1}^{4} [/mm] + 4 [mm] x_{2}^{2}) e^{x_{1}}
[/mm]
sind für das System (1) als Ansatz für eine Liapunovfunktion geeignet?
ii) Überprüfen Sie mit Hilfe einer geeigneten Ansatzfunktion aus Punkt (i) die Stabilität der Ruhelage x=0.
iii) Können Sie mit der von Ihnen gewählten Liapunovfunktion auch die asymptotische Stabilität der Ruhelage [mm] x_{0}=0 [/mm] nachweisen. |
Hallo!
Wie kann ich den überprüfen ob die Liapunovfunktionen geeigente Funktionen sind?
Ich weiß, dass V stetig differentierbar, V(0)=0 sein muss und dass V(x)>0 für alle x außer x=0 positive Definitheit bedeutet.
Aber das hilft mir momentan auch nicht weiter :(
die Unterpunkte sind mir relativ klar, ich muss dafür die Definitheit von V und der Ableitung von V überprüfen, klar ist mir halt momentan nicht wie ich überhaupt überprüfe ob V eine geeignete Funktion für die Angabe ist.
Ich bin euch sehr dankbar für jegliche Tipps!
Achja, wenn ich mich nicht irre, dann sind
V1 pos. def.
V2 pos. def.
V3 neg. def.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 23.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
