gedämpfter harm oszillator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:00 So 11.07.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Gegeben ist ein kleines Teilchen der Masse m, das an einer Feder mit der Federkonstante k angehängt ist. Das Teilchen
schwingt in einer Dimension, wobei die Rückstellkraft der Feder proportional zur Auslenkung sein soll. Außerdem wird es
durch Reibung mit der Dämpfungskonstante gedämpft.
a) Schreiben Sie die Differentialgleichung auf, die die Bewegung des Teilchens beschreibt.
b) Notieren Sie den ersten Integrationsschritt der numerischen Lösung dieses Anfangswertproblems in Matrixform bei
Anwendung des Crank-Nicholson-Verfahrens. |
Hallo,
das ist eine aufgabe aus computational physics, ich schreibe darin morgen eine klausur, und komme damit irgendwie gerade nicht zurecht.
Die Differentialgleichung müsste ja folgende sein:
[mm] m\bruch{d²x}{dt²} [/mm] = -kx+alpha * [mm] \bruch{dx}{dt}
[/mm]
Ich sollte nun eine Matrix aufstellen, die
das ganze in ein System gekoppelter dgls ersterordnung überführt.
ich hatte das davor bisher nur mit Massen ohne Reibungskraft, und da sah das z.b. für 3 Massen (Oszillatorkette) so aus:
[mm] w=\wurzel{\bruch{k}{m}} [/mm]
y= [mm] \vektor{w x_1 \\ dx_1/dt \\wx_2 \\dx_2/dt \\ wx_3 \\dx_3\dt}
[/mm]
und damit
dy/dt = [mm] w*\pmat{ 0 & 1 & 0& 0&0 & 0\\ -1 & 0 &1 &0 &0 &0\\ 0 & 0 & 0& 1& 0&0\\ 1 & 0 & -2& 0& 0&0\\ 0 & 0 & 0& 0& 0&1\\ 0 & 0 & 1& 0& -1& 0}* [/mm] y
Das Verfahren, kann ich dann selbst anwenden., es geht mir nur um die ausgangsmatrix.
hat mir da jemand n tipp wie ich da ran gehe, stehe gerade auf dem schlauch da ein system von dgls 1.ordnung zu bekommen...
vielen dank,
lg
muhmuh
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 So 11.07.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok, hab noch etwas rummgerätselt und bin auf folgende idee gekommen:
also die dgl ist ja folgende:
x''-alpha/m x'+ k/m x = 0
ich habe mal w²= k/m definiert
und nun
x'= v(t) und q(t) = w² x
dann ergibt sich
v'= alpha/m v(t) - k/m x = alpha/m v(t) - q(t)
und q'(t) = w v(t)
und dann die matrix:
[mm] \vektor{q '\\ v'}= \pmat{ 0 & w²\\ -1 & alpha/m }\vektor{q(t) \\ v(t)}
[/mm]
stimmt das so?
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Hallo muhmuh,
> ok, hab noch etwas rummgerätselt und bin auf folgende idee
> gekommen:
>
> also die dgl ist ja folgende:
>
>
> x''-alpha/m x'+ k/m x = 0
>
> ich habe mal w²= k/m definiert
>
> und nun
> x'= v(t) und q(t) = w² x
>
> dann ergibt sich
> v'= alpha/m v(t) - k/m x = alpha/m v(t) - q(t)
> und q'(t) = w v(t)
Das muss doch lauten: [mm]q'\left(t\right)=w^{\red{2}}*v\left(t\right)[/mm]
>
> und dann die matrix:
> [mm]\vektor{q '\\ v'}= \pmat{ 0 & w²\\ -1 & alpha/m }\vektor{q(t) \\ v(t)}[/mm]
>
Schreibe den Exponenten in geschweiften Klammern: w^{2}
>
> stimmt das so?
Besser so:
[mm]\vektor{q '\\ v'}= \pmat{ 0 & w^{2} \\ -1 & \bruch{\alpha}{m}}\vektor{q(t) \\ v(t)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 So 11.07.2010 | | Autor: | muhmuh |
ja hast recht, hatte das auch so,
nur hat er das ^2 nicht genommen, wenn man es direkt eingibt... also ueber strg 2 ... naja aber cool,dass es stimmt:)
danke:)
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