gebrochenrat. Fkt NS + Verht. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:04 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Blaze |
| Aufgabe | Geg: fa(x)=(4x+a)^(1/2)/(x+1), mit x Element Dfa, a Element R u a <>0;
Geben Sie den Definitionsbereich und das Verhalten der Funktionswerte von fa für x gegen + unendlich an. Berechnen Sie die NS(Nullstellen) von fa. Für welchen parameter a hat fa keine NS? |
Für den Definitionsbereich gilt doch x Element R ohne 0 und x>=-a/4 oder?
Meine Frage ist jetzt wie ich das Verhalten für +unendlich bekomme, muss ich da vielleicht wieder eine Fallbetrachtung machen? Oder hilft mir da die Regel von l'Hopistal weiter?
Für doe zweite Teilaufgabe habe ich: Keine NS wenn gilr 4x+a<0
=>also x<-a/4, habe ich das nicht schon beim Definitionsbereich ausgeschlossen?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Danke schon mal im voraus.
Mfg
Blaze
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> Geg: fa(x)=(4x+a)^(1/2)/(x+1), mit x Element Dfa, a Element
> R u a <>0;
> Geben Sie den Definitionsbereich und das Verhalten der
> Funktionswerte von fa für x gegen + unendlich an. Berechnen
> Sie die NS(Nullstellen) von fa. Für welchen parameter a hat
> fa keine NS?
> Für den Definitionsbereich gilt doch x Element R ohne 0
> und x>=-a/4 oder?
Weshalb "ohne 0"? Zudem ist [mm] $f_a(x)$ [/mm] auch für $x=-1$ nicht defniert.
> Meine Frage ist jetzt wie ich das Verhalten für +unendlich
> bekomme, muss ich da vielleicht wieder eine Fallbetrachtung
> machen? Oder hilft mir da die Regel von l'Hopistal weiter?
Geht einfacher: für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] dürfen wir sicher annehmen, dass der Funktionsterm definiert ist und wir können so schliessen:
[mm]\lim_{x\rightarrow +\infty}f_a(x)
=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{4x+a}}{x+1}
=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{4+\frac{a}{x}}}{x+1}\\
=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{a}{x}}}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}
=0[/mm]
Denn beim letzten Limes geht der Zähler gegen [mm] $\sqrt{4}=2$ [/mm] und der Nenner gegen [mm] $+\infty$.
[/mm]
> Für doe zweite Teilaufgabe habe ich: Keine NS wenn gilr
> 4x+a<0
> =>also x<-a/4, habe ich das nicht schon beim
> Definitionsbereich ausgeschlossen?
Der Zählerterm [mm] $\sqrt{4x+a}$ [/mm] von [mm] $f_a(x)$ [/mm] wird genau dann gleich $0$ wenn $4x+a=0$ ist. Ein solches $x$ gibt es natürlich zunächst einmal für alle [mm] $a\in\IR$: [/mm] und zwar [mm] $x=-\frac{1}{4}a$. [/mm] Dieser Wert von $x$ ist auch im Definitionsbereich von [mm] $f_a$ [/mm] enthalten, sofern nicht gerade [mm] $-\frac{1}{4}a=-1$, [/mm] bzw. äquivalent $a=4$ ist (in diesem Falle ist nämlich der Nennerterm von [mm] $f_a(x)$ [/mm] nicht definiert). Also hat [mm] $f_a$ [/mm] nur für $a=4$ keine Nullstelle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Blaze |
Ja na klar, jetzt leuchtet es mir auch ein. Vielen Dank für Deine Hilfe. Das kommt von 6 Wochen Ferien ohne Mathe  .
Mfg
Gregor
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