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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 20.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Führen Sie für die folgende Funktion die Partialbruchzerlegung durch, bestimmen Sie ihren Defintions- und Wertebereich, ihre Nullstellen, ihre Asymptote sowie die Schnittpunkte des Graphen mit der Asymptote.
[mm] f(x)=\bruch{2x^3+4x^2-2x-4}{x^2+2x} [/mm] |
Hi!
Schon wieder eine dieser Aufgaben aber ich hoffe diesmal alles richtig gemacht zu haben...
Zunächst habe ich den Nenner nach Nullstellen untersucht:
[mm] x^2+2x=0
[/mm]
x(x+2)=0
somit habe ich eine Nullstelle bei [mm] x_1=0 [/mm] und eine bei [mm] x_2=-2
[/mm]
Dann habe ich eine Polynomdivision durchgeführt:
[mm] (2x^3+4x^2-2x-4):(x^2+2x)=2x+\bruch{-2x-4}{x^2+2x}
[/mm]
Dann zur Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{-2x-4}{x^2+2x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+2}
[/mm]
[mm] \bruch{-2x-4}{x(x+2)}=\bruch{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}
[/mm]
-2x-4=Ax+Bx+2A
-2x-4=(A+B)x+2A
[mm] \to [/mm] A+B=-2
[mm] \to [/mm] A=-2
A=-2 in A+B=-2 einsetzen
[mm] \to [/mm] B=0
[mm] f(x)=\bruch{2x^3+4x^2-2x-4}{x^2+2x}=2x+\bruch{-2x-4}{x^2+2x}=2x-\bruch{2}{x}
[/mm]
x=-2 war eine hebbare Definitionslücke also bekomme ich für den Definitionsbereich:
[mm] D_f=\IR\backslash0
[/mm]
Für den Wertebereich:
[mm] W_f=\IR
[/mm]
Nullstellen:
[mm] x_1=-1
[/mm]
[mm] x_2=1
[/mm]
Die Gleichung der Asymptote im Unendlichen:
y=2x
und der Graph hat keine Schnittpunkte mit der Asymptote.
Jetzt habe ich noch eine Frage bzgl. der hebbaren Definitionslücke falls der Rest überhaupt richtig sein sollte und ich nciht schon wieder etwas übersehen habe:
War das jetzt Zufall, dass B=0 geworden ist?
Ich bin nämlich erst dadurch darauf aufmerksam geworden, dass ich einen gemeinsamen Faktor im Nenner/Zähler wegkürzen kann.
Hätte ich lieber von Anfang an schauen sollen ob die Nullstellen im Nenner auch im Zähler vorkommen?
Danke wie immer im vorraus und beste Grüße,
tedd ;)
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Hi, tedd,
> Führen Sie für die folgende Funktion die
> Partialbruchzerlegung durch, bestimmen Sie ihren
> Defintions- und Wertebereich, ihre Nullstellen, ihre
> Asymptote sowie die Schnittpunkte des Graphen mit der
> Asymptote.
>
> [mm]f(x)=\bruch{2x^3+4x^2-2x-4}{x^2+2x}[/mm]
> Hi!
> Schon wieder eine dieser Aufgaben aber ich hoffe diesmal
> alles richtig gemacht zu haben...
>
> Zunächst habe ich den Nenner nach Nullstellen untersucht:
>
> [mm]x^2+2x=0[/mm]
> x(x+2)=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> somit habe ich eine Nullstelle bei [mm]x_1=0[/mm] und eine bei
> [mm]x_2=-2[/mm]
Du meinst "Nenner"-Nullstellen - somit "Definitionslücken" der Funktion!
> Dann habe ich eine Polynomdivision durchgeführt:
>
> [mm](2x^3+4x^2-2x-4):(x^2+2x)=2x+\bruch{-2x-4}{x^2+2x}[/mm]
Eigentlich voreilig, weil man erst mal "nachschaut", welcher Art die Definitionslücken sind!
Dann würdest Du bemerken: x=0 Pol; x=-2 stetig behebbar:
Demnach kannst Du durch den Term (x+2) kürzen! (***)
> Dann zur Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{-2x-4}{x^2+2x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+2}[/mm]
> [mm]\bruch{-2x-4}{x(x+2)}=\bruch{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}[/mm]
> -2x-4=Ax+Bx+2A
> -2x-4=(A+B)x+2A
>
> [mm]\to[/mm] A+B=-2
> [mm]\to[/mm] A=-2
>
> A=-2 in A+B=-2 einsetzen
> [mm]\to[/mm] B=0
Das hättest Du einfacher haben können, wenn Du nach meiner Bemerkung (***) durch (x+2) gekürzt hättest.
Die Polynomdivision hätte dann ohne PBZ direkt ergeben:
> [mm]f(x)=2x-\bruch{2}{x}[/mm]
> x=-2 war eine hebbare Definitionslücke also bekomme ich für
> den Definitionsbereich:
> [mm]D_f=\IR\backslash0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Auch eine stetig behebbare DL ist eine Definitionslücke!
Daher: [mm] D_f=\IR\backslash [/mm] {0 ; [mm] \red{-2} [/mm] }
> Für den Wertebereich:
> [mm]W_f=\IR[/mm]
Das musst Du aber genauer begründen, z.B. mit Hilfe des Steigungsverhaltens. Besondere Aufmerksamkeit solltest Du auf die y-Koordinate der stet.beh.DL legen.
> Nullstellen:
> [mm]x_1=-1[/mm]
> [mm]x_2=1[/mm]
> Die Gleichung der Asymptote im Unendlichen:
> y=2x
und natürlich: senkrechte As. bei x=0.
> und der Graph hat keine Schnittpunkte mit der Asymptote.
> Jetzt habe ich noch eine Frage bzgl. der hebbaren
> Definitionslücke falls der Rest überhaupt richtig sein
> sollte und ich nciht schon wieder etwas übersehen habe:
> War das jetzt Zufall, dass B=0 geworden ist?
> Ich bin nämlich erst dadurch darauf aufmerksam geworden,
> dass ich einen gemeinsamen Faktor im Nenner/Zähler
> wegkürzen kann.
Richtige Idee; aber wie erwähnt (siehe meine Bemerkung oben!):
Sowas sollte man schon vorher merken und "ausnutzen"!
> Hätte ich lieber von Anfang an schauen sollen ob die
> Nullstellen im Nenner auch im Zähler vorkommen?
Jo!
mfG!
Zwerglein
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