gebrochen Rationale Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:43 Mo 14.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Führen Sie für die folgende Funktion die Partialbruchzerlegung durch, bestimmen Sie ihren Defintions- und Wertebereich, ihre Nullstellen, ihre Asymptote sowie die Schnittpunkte des Graphen mit der Asymptote.
[mm] f(x)=\bruch{x^4-2x^3-6x-9}{x^3-2x^2+2x-4} [/mm] |
Erstmal habe ich eine Polynomdivision gemacht:
[mm] (x^4-2x^3-6x-9):(x^3-2x^2+2x-4)=x+\bruch{2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}
[/mm]
Dann habe ich die Nullstellen vom Nenner gesucht und durch raten mit Hilfe des Horner Schemas gefunden
NST vom nenner [mm] x^3-2x^2+2x-4 [/mm] ist 2
und jetzt komme ich nicht ganz weiter.
Kann ich jetzt schreiben:
[mm] f(x)=\bruch{x^4-2x^3-6x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=x+\bruch{2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=x+\bruch{A}{x-2}
[/mm]
?
Danke schonmal im vorraus und besten gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mo 14.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
dein Vorgehen ist nicht ganz richtig. Du musst erst einmal sämtliche Nullstellen des Nenners bestimmen.
Der Nenner lautet: [mm] x^3-2x^2+2x-4
[/mm]
Wir sehen, dass [mm] x_1=2 [/mm] eine Nullstelle ist. (Das hast du auch schon!)
Jetzt kannst du durch Polynomdivision
- also: [mm] (x^3-2x^2+2x-4):(x-2)
[/mm]
weitere Nullstellen finden; laut Mathematica sind's insgesamt 3 Nullstellen.
Seien [mm] x_2,x_3 [/mm] weitere Nullstellen des Nenners, dann gilt:
[mm] \bruch{x^4-2x^3-6x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=\bruch{A}{x-x_1}+\bruch{B}{x-x_2}+\bruch{C}{x-x_3}
[/mm]
A,B und C kannst du dann mittels Koeffinzientenvergleich berechnen.
Ich hoffe, es hilft dir weiter; ansonsten noch mal nachfragen, oder im Matheraum-Forum stöbern. Da findest du auch jede Menge Beispiele.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mo 14.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hi barsch!
Danke für deine Antwort.
[mm] (x^3-2x^2+2x-4):(x-2)=x^2+2
[/mm]
und für [mm] x^2+2 [/mm] finde ich keine weiteren reellen Nullstellen. Muss man jetzt mit komplexen Zahlen weiterrechnen?
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Hallo tedd,
also deine Rechnung stimmt. Da es keine reelen Lösungen gibt musst du mit komplexen Nullstellen weiterrechen. Bzw. sieht deine Partialbruchzerlegung nun so aus
[mm] \bruch{x^4-2x^3-6x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^3-2x^2+2x-4}
[/mm]
Du kannst aber auch statt Bx+C ganz normal deine komplexen Nullstellen unter B & C schreiben.
Ich finde es so aber leichter...
Jetzt ausmultiplizieren und A,B&C ausrechnen.
Grüße
tomtomgo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mo 14.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
> Hallo tedd,
>
> also deine Rechnung stimmt. Da es keine reelen Lösungen
> gibt musst du mit komplexen Nullstellen weiterrechen. Bzw.
> sieht deine Partialbruchzerlegung nun so aus
>
> [mm]\bruch{x^4-2x^3-6x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^3-2x^2+2x-4}[/mm]
müsste es hier nicht eher heißen:
[mm] \bruch{2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+2}
[/mm]
Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mo 14.07.2008 | | Autor: | tomtomgo |
> Hallo,
> müsste es hier nicht eher heißen:
>
> [mm]\bruch{2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+2}[/mm]
>
>
> Grüße
> Smarty
Ja sorry. Hab von meiner Lösung falsch abgeschrieben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 15.07.2008 | | Autor: | tedd |
Danke euch beiden schon einmal für die Antwort.
[mm] \bruch{2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+2}
[/mm]
[mm] \bruch{2x^2-2x-9}{(x-2)(x^2+2)}=\bruch{A(x^2+2)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+2)}
[/mm]
[mm] 2x^2-2x-9=A(x^2+2)+(Bx+C)(x-2)
[/mm]
x=2 [mm] \to A=-\bruch{3}{2}
[/mm]
x=0 [mm] \to [/mm] C=3
aber wie kriege ich jetzt einen Wert für B raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 15.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke euch beiden schon einmal für die Antwort.
>
> [mm]\bruch{2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2x^2-2x-9}{(x-2)(x^2+2)}=\bruch{A(x^2+2)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+2)}[/mm]
>
> [mm]2x^2-2x-9=A(x^2+2)+(Bx+C)(x-2)[/mm]
>
> x=2 [mm]\to A=-\bruch{3}{2}[/mm]
Was tust du hier?
Multipliziere deinen rechten Term aus und fasse zusammen:
[mm] \bruch{A(x^2+2)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+2)}=\bruch{(A+B)x^2+(C-2B)x+2A-2C}{(x-2)(x^2+2)}
[/mm]
Der Koeffizientenvergleich mit [mm] \bruch{2x^2-2x-9}{(x-2)(x^2+2)} [/mm] liefert folgende Identitäten:
A+B=2
C-2B=-2
2A-2C=-9
Gruß Abakus
>
> x=0 [mm]\to[/mm] C=3
>
> aber wie kriege ich jetzt einen Wert für B raus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 15.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hey abakus,
wenn ich den rechten Term ausmultipliziere steht da:
[mm] \bruch{Ax^2+Bx^2+Cx-2Bx+2A-2C}{(x-2)(x^2+2)}
[/mm]
Ich muss jetzt sagen, dass ich nicht wirklich verstehe wie man das mit dem Koeffizientenvergleich macht, das was unter wikipedia steht wird mir auch nicht klar.
soweit hab ichs probiert:
also nach potenzen ordnen
[mm] 2x^2-2x-9=(A+B)x^2+(C-2B)x+2A-2C
[/mm]
Dann erhalte ich als erste Gleichung:
A+B=2
als zweite;
C-2B=-2
und als dritte:
2A-2C=-9
also scheints ja doch richtig zu sein wie ichs gemacht habe....
jetzt nach einer der Variablen auflösen und dann einsetzen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Di 15.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hey smarty,
tut mir leid mit dem editieren aber mir ist dann doch noch ein Licht aufgegangen wie ich das mit dem Koeffizientenvergleich mache :)
Nun gut...
dann habe ich folgende Werte für A,B und C ausgerechnet:
I A+B=2 [mm] \gdw [/mm] B=2-A [mm] \to [/mm] I*
II C-2B=-2
III 2A-2C=-9
I* in II
C-2(2-A)=-2
2A02-C
[mm] A=1-\bruch{C}{2} [/mm] in III einsetzen
2-C-2C=-9
[mm] C=\bruch{11}{3} [/mm] in II einsetzen
[mm] \bruch{11}{3}-2B=-2
[/mm]
[mm] B=\bruch{17}{6} [/mm] in I einsetzen
[mm] A=-\bruch{5}{6}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{x^4-2x^3-6x-9}{x^3-2x^2+2x-4}=-\bruch{\bruch{5}{6}}{x-2}+\bruch{\bruch{17}{6}x+\bruch{11}{3}}{x^2+2}
[/mm]
der erste Term der PBZ also [mm] -\bruch{\bruch{5}{6}}{x-2}
[/mm]
hat eine Polstelle bei x=2 und im Intervall von [mm] [-\infty;2[ [/mm] (richtig so geschrieben?) geht Funktion von sehr kleinen y-Werten bis [mm] +\infty [/mm] und hinter der Polstelle, also [mm] ]2;\infty] [/mm] kommt sie von [mm] \infty [/mm] und nähert sich dann der x-Achse...
Der 2te Term [mm] \bruch{\bruch{17}{6}x+\bruch{11}{3}}{x^2+2} [/mm] hat eine Nullstelle bei etwa -1,3, ist nach unten geöffnet und hat ihren Schnittpunkt mit der y-Achse bei [mm] y=\bruch{11}{6}... [/mm] hier hatte ich ein paar Probleme rauszufinden wie der Graph von diesem Term aussieht. Wie mach ich das ohne Plot und komplette Kurvendiskussion?
Jednefalls kann ich dann schonmal den Definitionsbereich bestimmen:
[mm] D_f=\IR\backslash2
[/mm]
Bin mir nicht wirklich sicher aber beim Wertebereich würde ich dann auf
[mm] W_f=\IR [/mm] tippen...
Ist das soweit richtig?
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Hallo,
da scheint verschiedenes etwas falsch gelaufen zu sein.
Schon die im allerersten posting angegebene Polynomdivision
stimmte nicht.
Ich habe nicht alles im einzelnen durchgesehen, möchte aber
ein paar Zwischenergebnisse angeben:
Anstatt [mm] (x^4-2x^3-6x-9):(x^3-2x^2+2x-4)=x+\bruch{2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}
[/mm]
müsste es heissen:
[mm] (x^4-2x^3-6x-9):(x^3-2x^2+2x-4)=x+\bruch{\red{-}2x^2-2x-9}{x^3-2x^2+2x-4}
[/mm]
Die komplette Zerlegung von f(x) lautet:
[mm] f(x)=x-\bruch{3.5}{x-2}+\bruch{1.5x+1}{x^2+2}=x-\bruch{3.5}{x-2}+\bruch{1.5x}{x^2+2}+\bruch{1}{x^2+2}
[/mm]
[mm] D_f=\IR \backslash \{2\} [/mm] und [mm] \IW_f=\IR [/mm] ist richtig
Die eine Asymptote ist natürlich die Polgerade x=2, die andere ist die Gerade y=x.
Der Graph von f schneidet keine der beiden Asymptoten.
f hat 2 Nullstellen.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 15.07.2008 | | Autor: | tedd |
Vielen Dank für die Korrektur!
Habs jetzt nochmal ab der korrigierten Polynomdivision nachgerechnet und die selben Ergebnisse raus.
Jetzt habe ich noch 2 fragen:
Wann kann ich die Partialbrüche mit einsetzen der Nullstellen lösen (wenn keine Polynome im Nenner stehen?) und ab wann muss ich das ganze mit Koeffizientenvergleich machen?
Und wie kriege ich das mit den Asymptoten raus?
Das die Polgerade bei x=2 eine Asymptote ist kann ich mir noch erklären aber warum habe ich auch eine bei x=y und wie kommt man darauf?
Wie kann eine Asymptote Schnittpunkte mit dem Graphen haben(ich war der Meinung, dass Asymptoten Geraden sind die sich dem Graphen der Funktion annähern aber nie einen Schnittpunkt mit dieser haben?)
Sorry für diese allgemeine Fragen aber in den Büchern die ich hier grade zur Hand habe wird das nicht ausführlich erklärt oder ich bin zu doof es darin zu finden :(
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> Jetzt habe ich noch 2 Fragen:
> Wann kann ich die Partialbrüche mit einsetzen der
> Nullstellen lösen (wenn keine Polynome im Nenner stehen?)
> und ab wann muss ich das ganze mit Koeffizientenvergleich
> machen?
(diese Frage verstehe ich jetzt nicht ganz)
> Und wie kriege ich das mit den Asymptoten raus?
> Dass die Polgerade bei x=2 eine Asymptote ist kann ich mir
> noch erklären aber warum habe ich auch eine bei x=y und wie
> kommt man darauf?
Die Zerlegung [mm] f(x)=Polynom(x)+Bruchterm_1(x)+Bruchterm_2(x)+...
[/mm]
wobei alle Bruchterme im Nenner einen höheren Grad als im
Zähler haben, ermöglicht folgende Überlegung: die Bruchterme
streben für [mm] x\to ±\infty [/mm] gegen 0 (genau wegen dem höheren Grad
im Nenner). Für das Verhalten von f(x) für [mm] x\to ±\infty [/mm] ist also
allein das verbliebene Polynom verantwortlich. Hat es den
Grad 0 (Konstante), gibt es eine waagrechte Asymptote.
Hat es den Grad 1 (lineare Funktion), gibt es eine schräge,
geradlinige Asymptote. Hat es den Grad 2, so gibt es eine
Parabel als asymptotische Kurve, etc.
> Wie kann eine Asymptote Schnittpunkte mit dem Graphen
> haben(ich war der Meinung, dass Asymptoten Geraden sind die
> sich dem Graphen der Funktion annähern aber nie einen
> Schnittpunkt mit dieser haben?)
Wichtig ist nur die (beliebig nahe !) Annäherung z.B. für [mm] x\to ±\infty, [/mm]
aber nicht die Eigenschaft, keinen Schnittpunkt zu erzeugen !
Der Graph der Funktion [mm] f(x)=e^{-x}*sin(x) [/mm] schneidet seine
Asymptote (die x-Achse) unendlich oft. Die lineare Funktion
y=mx+b ist sogar identisch mit ihrer Asymptote.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 16.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Al-Chwarizmi,
ich kann jetzt im Moment nicht auf deine Antworten eingehen aber bedanke mich hiermit herzlich bei dir!
Ich werde jetzt erstmal probieren eine weitere Afugabe mit gleicher Aufgabenstellung selbstständig zu lösen, poste dann nochmal wie ichs gemacht habe und hoffe, dass ichs dann richtig gemacht habe.
Vielen Dank an alle und ich hoffe ich geh keinem auf die nerven.
Besten Gruß,
tedd
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
ja, genau so
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
. Ich hatte ja gutgläubig einfach die Polynondivision als richtig angesehen. Hier werden doch wohl keine Versäumnispunkte gezählt, oder 