ganzzahlige Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 So 04.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | I)
Für [mm] $n\geq [/mm] 2$ sei eine ganzzahlige Matrix [mm] $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ [/mm] gegeben, deren Einträge alle ungerade sind. Zeigen Sie mit Induktion nach n, dass det(A) eine gerade Zahl ist.
II)
Gegeben sei eine ganzzahlige Matrix [mm] $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, [/mm] deren Einträge alle Vielfache einer Zahl [mm] $k\in\mathbb{Z}$ [/mm] sind. Zeigen Sie, dass det(A) durch [mm] $k^n$ [/mm] teilbar ist. |
Hi,
ich bräuchte gerade etwas Hilfe für diese Aufgabe.
Erstmal zu der I)
Der Induktionsschritt ist kein Problem. Ich nehme eine normale [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrix mit ungeraden Einträgen, also als 2k+1 darstellbar, und berechne die Determinante ganz normal. Am Ende kann ich eine zwei ausklammern und damit ist die Determinante gerade, weil sie ein ganzzahliges Vielfaches von 2 ist.
Beim Induktionsschritt hänge ich aber ein wenig.
Ich wollte ihn mit der Laplace-Entwicklung beenden.
Ich habe ja nun eine [mm] $(n+1)\times [/mm] (n+1)$ Matrix. Da ich in der Formel für die Laplace-Entwicklung eine Streichmatrix haben, also eine [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix kann ich hier die Induktionsvoraussetzung anwenden, womit ich wieder immer ein ganzzahliges Vielfaches von 2 habe. Reicht das schon?
Ich weiß gerade nicht ob ich die Formel so anwenden kann wie ich möchte.
[mm] $A\in\\mathbb{R}^{(n+1)\times (n+1)}$
[/mm]
[mm] $det(A)=\sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{i+j} det(A_{ij}^{'}) \xi_{ij}$
[/mm]
Hier wüsste ich nun nach I.V., dass [mm] $det(A_{ij}^{'})$ [/mm] durch zwei teilbar ist. Also der gesamte Ausdruck durch zwei teilbar ist. Nun weiß ich nicht ob dieser Schritt legitim ist. Also das aus der [mm] $det(A_{ij}^{'})|2$ [/mm] auch folgt, dass
[mm] $\sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{i+j} det(A_{ij}^{'}) \xi_{ij}|2$
[/mm]
Es werden ja ganze viele durch zwei teilbare Summanden addiert.
Vielen Dank.
|
|
| |
|
Hallo,
> I)
>
> Für [mm]n\geq 2[/mm] sei eine ganzzahlige Matrix
> [mm]A\in\mathbb{R}^{n\times n}[/mm] gegeben, deren Einträge alle
> ungerade sind. Zeigen Sie mit Induktion nach n, dass det(A)
> eine gerade Zahl ist.
>
> II)
>
> Gegeben sei eine ganzzahlige Matrix [mm]A\in\mathbb{R}^{n\times n}[/mm],
> deren Einträge alle Vielfache einer Zahl [mm]k\in\mathbb{Z}[/mm]
> sind. Zeigen Sie, dass det(A) durch [mm]k^n[/mm] teilbar ist.
> Hi,
>
> ich bräuchte gerade etwas Hilfe für diese Aufgabe.
>
> Erstmal zu der I)
>
> Der Induktionsschritt ist kein Problem. Ich nehme eine
> normale [mm]2\times 2[/mm] Matrix mit ungeraden Einträgen, also als
> 2k+1
Ja, wobei alle Einträge ja verschieden sind! Also hast du bei einer 2x2-Matrix, dann
[mm] a_{11}=2k+1
[/mm]
[mm] a_{12}=2l+1
[/mm]
[mm] a_{21}=2m+1
[/mm]
[mm] a_{22}=2o+1
[/mm]
mit [mm] k,l,m,o\in\IZ
[/mm]
> darstellbar, und berechne die Determinante ganz
> normal. Am Ende kann ich eine zwei ausklammern und damit
> ist die Determinante gerade, weil sie ein ganzzahliges
> Vielfaches von 2 ist.
> Beim Induktionsschritt hänge ich aber ein wenig.
>
> Ich wollte ihn mit der Laplace-Entwicklung beenden.
Ja ok.
>
> Ich habe ja nun eine [mm](n+1)\times (n+1)[/mm] Matrix. Da ich in
> der Formel für die Laplace-Entwicklung eine Streichmatrix
> haben, also eine [mm]n\times n[/mm] Matrix kann ich hier die
> Induktionsvoraussetzung anwenden, womit ich wieder immer
> ein ganzzahliges Vielfaches von 2 habe. Reicht das schon?
> Ich weiß gerade nicht ob ich die Formel so anwenden kann
> wie ich möchte.
>
> [mm]A\in\\mathbb{R}^{(n+1)\times (n+1)}[/mm]
>
> [mm]det(A)=\sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{i+j} det(A_{ij}^{'}) \xi_{ij}[/mm]
Im Prinzip dröselt man hier alles auf:
Wir wissen:
i) [mm] \det(A_{ij}=:z_1 [/mm] ist gerade
ii) [mm] \xi_{ij}=:z_2 [/mm] sind sämtlich ungerade (nach Voraussetzung)
iii) [mm] (-1)^{i+j}=:z_3 [/mm] ist ungerade.
Nun ist aber [mm] z=z_1*z_2*z_3 [/mm] gerade.
Außerdem ist klar, dass die Summe von geraden Zahlen wieder gerade ist.
>
> Hier wüsste ich nun nach I.V., dass [mm]det(A_{ij}^{'})[/mm] durch
> zwei teilbar ist. Also der gesamte Ausdruck durch zwei
> teilbar ist. Nun weiß ich nicht ob dieser Schritt legitim
> ist. Also das aus der [mm]det(A_{ij}^{'})|2[/mm] auch folgt, dass
>
> [mm]\sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{i+j} det(A_{ij}^{'}) \xi_{ij}|2[/mm]
>
> Es werden ja ganze viele durch zwei teilbare Summanden
> addiert.
>
> Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 04.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, ich habe natürlich nicht immer 2k+1 in der Matrix geschrieben. Hatte es oben vielleicht nicht ausreichend beschrieben was ich meine, aber wollte auch nicht unbedingt meine Matrix posten. :)
Also vom Prinzip her ist mein Gedanke richtig gewesen. Werde das noch ein wenig ausbessern mit deinen Ideen.
Für den zweiten Teil:
II)
Ich denke diese Aufgabe ist eigentlich sehr einfach. Wenn ich eine x-beliebige Matrix habe, und diese auf eine Form bringe wo ich dann die Determinante berechnen kann, zum Beispiel eine Dreiecksform, dann stehen auf der Diagonalen auch nur durch k teilbare Zahlen. Diese werden alle aufmultipliziert um die Determinante zu berechnen. Also ist die Determinante am Ende durch [mm] $k^n$ [/mm] teilbar.
Würde eine solche Begründung (vielleicht noch ein wenig "hochtrabender" Formuliert) ausreichen?
|
|
|
| |
|
> Ja, ich habe natürlich nicht immer 2k+1 in der Matrix
> geschrieben. Hatte es oben vielleicht nicht ausreichend
> beschrieben was ich meine, aber wollte auch nicht unbedingt
> meine Matrix posten. :)
Jo, ich wollte idch nur noch einmal drauf hinweisen.
>
> Also vom Prinzip her ist mein Gedanke richtig gewesen.
> Werde das noch ein wenig ausbessern mit deinen Ideen.
>
> Für den zweiten Teil:
>
> II)
>
> Ich denke diese Aufgabe ist eigentlich sehr einfach. Wenn
> ich eine x-beliebige Matrix habe, und diese auf eine Form
> bringe wo ich dann die Determinante berechnen kann, zum
> Beispiel eine Dreiecksform, dann stehen auf der Diagonalen
> auch nur durch k teilbare Zahlen. Diese werden alle
> aufmultipliziert um die Determinante zu berechnen. Also ist
> die Determinante am Ende durch [mm]k^n[/mm] teilbar.
>
> Würde eine solche Begründung (vielleicht noch ein wenig
> "hochtrabender" Formuliert) ausreichen?
Ich denke es geht noch einfacher.
[mm] \det(A)=\det((ka_{ij}))=\det(kA')=k^n\det(A)
[/mm]
Das ist einfach eine Regel der Determinante. Wenn du das benutzen darfst, dann bist du sofort fertig.
Daher die Frage: Darfst du das benutzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 04.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, das sollten wir benutzen dürfen.
Ich formuliere nochmal aus was du gemacht hast, um zu gucken ob ich es verstanden habe.
Im Grunde basiert die Umformung darauf, dass du in jeder Zeile den Faktor k aus der Matrix ausklammerst. Da dies für alle n-Zeilen passiert haben wir den Faktor k n-mal. Das wir dies nun vor die Determinante schreiben können ist eine Grundlegende Eigenschaft der Determinante.(Die Determinante ist linear)
|
|
|
| |
|
> Ja, das sollten wir benutzen dürfen.
>
> Ich formuliere nochmal aus was du gemacht hast, um zu
> gucken ob ich es verstanden habe.
>
> Im Grunde basiert die Umformung darauf, dass du in jeder
> Zeile den Faktor k aus der Matrix ausklammerst. Da dies
> für alle n-Zeilen passiert haben wir den Faktor k n-mal.
Hier steckt der Fehler.
Nehmen wir uns mal eine 2x2-Matrix
[mm] A=\pmat{ ka& kb \\ kc & kd }=k\pmat{ a& b \\ c & d }=kA'
[/mm]
Aber:
[mm] \det(A)=\det(kA')=k^2\det(A')
[/mm]
> Das wir dies nun vor die Determinante schreiben können ist
> eine Grundlegende Eigenschaft der Determinante.(Die
> Determinante ist linear)
Determinanten sind linear in einer Zeile, aber im gesamten eben multilinear. Daher der Faktor [mm] k^n.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 So 04.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, vielen Dank.
|
|
|
|
