ganzrationale funk. bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:16 So 20.03.2005 | | Autor: | elsejen |
Ich muss morgen diese Aufgabe vorführen und komm absolut nicht weiter!!!
Aufgabe: Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 3, deren Graph durch A(-2/2), B(0/2) und C(2/2) geht und die x- Achse berührt.
mein Lösungsansatz:
da es eine Funktion 3. Grades ist habe ich die Grundgleichung
f(x)=ax³+bx²+cx+d
nun brauche ich vier Bedingungen, damit ich auf meine vier variablen komme.
(1) 2=-8a+4b-2c+d
(2) 2=8a4b+2c+d
(3) weil f(0) -=2 ist, ist d=2
(4) ???
aus diesen drei kann ich schon einmal zwei Variablen ausrechenen. d=2 und b=-0,5
Jedoch weiß ich nicht wie ich das mit dem Berührpunkt als Bedingung aufschreiben muss. Ich weiß ebenfalls, dass der Berührpunkt auch ein Extrema ist. Jedoch kann ich dadurch nur die Bedingung f'(x)=0 ableiten und die bringt mich nicht weiter!!!
Mir wurde gesagt, dass ich mit der Formel a(x-b)(x-c)² rechenen muss. Wie muss ich diese Formel in die Bedingung einbauen?
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann!!!
ICH HABE DIESE FRAGE AUF KEINEM FORUM AUF ANDEREN INTERNETSEITEN GESTELLT!!!
Elsejen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 So 20.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo Elsejen
Du hast eine ganzrationale Funktion 3. Grades
[mm] f(x)=ax^{x}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Es scheint als wenn wir damit nicht weiter kommen.
Dein Ansatz mit
[mm] f(x)=a(x-2)(x-b)^{2}
[/mm]
ist sehr richtig. Du hast ja noch Zwei andere Punkte gegeben.
Nämlich C, und A.
Jetzt nimmst du diese obige Gleichung mit den Linearfaktoren und bildest zwei Bedingung, denn du hast zwei unbekannte a und b und hast zwei punkte also dürfte das weitere vorgehen keine Probleme mehr bereiten,
ansonsten frag einfach nochmal.
Gruß Mehmet
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 20.03.2005 | | Autor: | elsejen |
hi mehmet
danke für die shcnelle antwort. jedoch komme ich trotzdem nicht weiter. wie kommst du auf die 2 in der formel a(x-b)(x-c)² ??? und selbst wenn ich die punkte A und C einsetze, so komme ich auf die Gleichungen:
2=a(-2-2)(-2-c)²
2=a(2-2)(2-c)² <=> 2= a(0)(2-c)²= 0
ich kann keine Variablen elemenieren. Wie kommst du auch die Formel? Kannst du mir den Ansatz noch mal anders erklären? wäre echt lieb von dir!
Danke elsejen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 20.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo nochmal!
Eine ganzrationale Funktion kann man als Linearfaktoren schreiben.
Die stellen dann im Prinzip die Nullstellen dar nachdem man sie aufgelöst hat.
die Nullstelle x=2 wird beispielsweise als Linearfaktor so geschrieben:
(x-2)
Nun hast du in der Aufgabe den Punkt (0 |2) das heißt dieser Punkt stellt eine einfache Nullstelle deiner Funktion dar und du kannst sie dann problemlos als Linearfaktor (x-2) schreiben.
Du hast ja auch noch in der Aufgabe gegeben dass du eine doppelte Nullstelle hast.
Wir erfahren diese Nullstelle nicht und nennen sie einfach mal x=b und dies kann man ja auch als Linearfaktor schreiben. Hier musst du aber beachten dass diese Nullstelle eine doppelte ist, das heisst also du musst den Linearfaktor hoch 2 machen: [mm] (x-b)^{2}
[/mm]
du hast nun zwei Linearfaktoren : (x-2) und [mm] (x-b)^{2}
[/mm]
das ganze musst du mit dem Streckfaktor a multiplizieren. Das sieht dann so aus:
[mm] f(x)=a(x-2)(x-b)^{2}
[/mm]
wie gesagt (x-2) kriege ich aus dem Punkt (0|2) , welcher ja eine nullstelle darstellt.
Nun bildest du:
1. Gleichung: f(-2)=2 --> [mm] a(-2-2)(-2-b)^{2}=2
[/mm]
2. Gleichung: f(2)= 2 --> [mm] a(2-2)(2-b)^{2}=2
[/mm]
Nun musst du lediglich auflösen. Verstehst du die Vorgehensweise?
Gruß Mehmet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 20.03.2005 | | Autor: | elsejen |
diese Gleichung ist falsch, weil darin ein Nullfaktor vorhanden ist:
a(2-2)(2-b)²=2
Ich hatte genau den gleichen Lösungsweg nach deiner ersten antwort, doch ich bin genau auf dieses Prolblem beim ausmultiplizieren gestoßen.
Außerdem versteh ich nicht was du mit ner Doppelnullstelle meinst.Ist das der Berührpunkt?
Ciao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 So 20.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
ja du hast recht, ich habe mich vertan:
Also ich versuchs nochmal:
Der weg über die Linearfaktoren ist richtig:
Wir haben jedoch keine Nullstelle gegeben.
das heißt wir bilden zunächst unseren Linearfaktor:
[mm] f(x)=a(x-b)(x-c)^{2}
[/mm]
1. Bedingung: f(-2)=2 --> [mm] 2=a(-2-b)(-2-c)^{2}
[/mm]
2. Bedingung: f(2) =2 --> [mm] 2=a(2-b)(2-c)^{2}
[/mm]
3. Bedingung: f(0) =2 --> [mm] 2=a(0-b)(0-c)^{2}
[/mm]
Es tut mir leid dass ich son müll geschrieben habe.
gruß Mehmet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 20.03.2005 | | Autor: | elsejen |
ist kein problem!!!! Jedoch komm ich dann nicht weiter. und warum muss ich eigentlich unbedingt diese formel nehmen und kann es nicht übet die allgemeine f(x)=ax³+bx²+cx+d lösen
gruß jenny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 20.03.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Jenny,
> ist kein problem!!!! Jedoch komm ich dann nicht weiter. und
> warum muss ich eigentlich unbedingt diese formel nehmen und
> kann es nicht übet die allgemeine f(x)=ax³+bx²+cx+d lösen
weil du in dieser Form 4 Unbekannte (a, b, c, d) hast.
Da du aber nur drei Gleichungen hast kannst du die vier Unbekannten nicht lösen.
Du weißt aber noch, dass der Graph die x-Achse berührt. Also muss da eine doppelte Nullstelle liegen. Mit dieser Information kannst du nun die Funktionsgleichung so schreiben: [mm]f(x)=a*(x-b)(x-c)^2[/mm].
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 20.03.2005 | | Autor: | elsejen |
hi teletubyyy
kannst du mir vielleicht helfe?? Wäre echt lieb!!!
ciao jenny
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Hallo elesjen,
Wollte vorhin selber eine Antwort schreiben, habs dann aber abgebrochen, weil Mehmet schon eine geschrieben hatte.
Du kannst die Aufgabe nicht über die Form [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] lösen. Da du nur drei Punkte gegen hast und damit nur auf ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen (aber 4 Unbekannten!!!) kämst.
Bedienst du dich hingegen der Form [mm] $f(x)=a(x-e)(x-f)^2$ [/mm] hast du nur noch drei Unbekannte! Es gilt dann nur noch (wie Mehmet auch schon geschrieben hat) das Gleichungssystem)
[mm] $I)\,2=a(-2-e)(-2-f)^2$ [/mm] (wegen A)
[mm] $I)\,2=a(-e)(-f)^2$
[/mm]
[mm] $I)\,2=a(2-e)(2-f)^2$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 20.03.2005 | | Autor: | elsejen |
hi
ich hab das soweit auch verstanden jetzt, doch weiß nicht so recht wie ich das gleichungssystem lösen kann. muss ihc es erst ausmultiplizieren oder was sonst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 20.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Ups. wollte die unfertige Antwort eingentlich garnicht posten. schau mal ob dir die vollständige Antwort weiterhilft
Gruß Samuel
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Hallo elesjen,
Wollte vorhin selber eine Antwort schreiben, habs dann aber abgebrochen, weil Mehmet schon eine geschrieben hatte.
Du kannst die Aufgabe nicht über die Form [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] lösen. Da du nur drei Punkte gegen hast und damit nur auf ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen (aber 4 Unbekannten!!!) kämst.
Bedienst du dich hingegen der Form [mm] $f(x)=a(x-e)(x-f)^2$ [/mm] hast du nur noch drei Unbekannte! Es gilt dann nur noch (wie Mehmet auch schon geschrieben hat) das Gleichungssystem)
[mm] $I)\,2=a(-2-e)(-2-f)^2$ [/mm]
[mm] $II)\,2=a(-e)(-f)^2$
[/mm]
[mm] $III)\,2=a(2-e)(2-f)^2$
[/mm]
Jetzt setzt du mal I) und II) gleich:
[mm] $a(-2-e)(-2-f)^2=a(-e)(-f)^2 \gdw (2+e)(2+f^2)=-ef^2$
[/mm]
[mm] $\gdw 4+2f^2+2e+ef^2=-ef^2 \gdw 2+f^2+e+ef^2=0$
[/mm]
[mm]\gdw f^2+ef^2=-e-2\gdw f^2=\frac{-e-2}{1+e}\gdw f= \pm \frac{e+2}{e+1}[/mm]
usw.
Du darfst übrigens keine eindeutige Lösung erwarten. Und das f schon hier gleich zwei werte annimmt ist auch nicht verwunderlich, da f nur in quadratischen Termen auftaucht.
Den Rest durchzurechenen überlasse ich dir, da ich zum einen zu faul und zum anderen was Rechnen angeht ein ziehmlicher Versager bin 
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 So 20.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
sry. steckt ein Rechenfehler drin...
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 So 20.03.2005 | | Autor: | Mehmet |
bist du sicher dass es eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist?
Wenn sie durch (-2 |2) und (2 |2) geht kann es keine 3. Grades sein, weil sie dann symmetrisch zur y- Achse sein muss, und eine Funktion 3. Grades ist nie symmetrisch zur y- achse.
Gruß mehmet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 20.03.2005 | | Autor: | elsejen |
also in unserem Mathebuch stehen genau diese punkte drin und ich war letzte Stunde bei unserem Lehrer und der meinte, dass ich über diese Formel an die Lösung komme....
Der punkt B muss nicht gleichzeitig Wendepunktund nur wenn es ein Wendepunkt wäre, wäre der Graph achsensymmetrisch.
Kann das sein, dass du den punkt B als eine Nullstelle auf dr x-Achse anerkannt hast und nicht auf der y-achse? Ist mir am mir nämlich am anfang passiert.
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