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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Di 20.02.2007 | | Autor: | Ailien. |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine gerade ganzrationale Funktion vom Grad 4, deren Graph in P(1/0) eine Wendetangente mit der Steigung 1 hat. Geben sie anschließend alle Extrempunkte an. |
Huhu =)
Allllso bislang hab ich mir notiert: [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
Allerdings kann ich irgendwie die Bedingungen nicht aufstellen =/ Wie ich hinterher die Extrempunkte berechne weiss ich wenn ich die Funktion hab, dann bilde ich einfach die erste Ableitung welche ich dann nullsetze...aber welche Bedingungen muss ich aufstellen??? HILFE ;)
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Di 20.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
sei [mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
Folgende Bedienungen gelten
f(1)=0 Der Graph geht durch den Punkt P(1|0)
f'(1)=1 Die Tangente hat die Steigung 1 im Punkt P(1|0)
f''(1)=0 Im Punkt P(1|0) liegt ein Wendepunkt vor
f(x)=f(-x) Die Funktion f(x) ist eine gerade Funktion
Dadurch kannst Du 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten ableiten und somit die Koeffizienten a,b,c,d,e bestimmen.
Hilft das?
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 20.02.2007 | | Autor: | Ailien. |
naja ich weiss nicht genau was ich mit der letzten Bedingung anfangen soll bzw das in die Rechnung stelle. Und noch eine Frage: bei f´´(x)= [mm] 12ax^2+6bx+2c [/mm] oder fällt das c auch weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Di 20.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ailien!
Die Bedingung $f(-x) \ = \ f(+x)$ (= "gerade Funktion") besagt, dass nur gerade Exponenten bei $x_$ verbleiben, damit diese o.g. Gleichung erfüllt ist:
$f(x) \ = \ [mm] a*x^4+c*x^2+e$
[/mm]
> noch eine Frage: bei f´´(x)= [mm]12ax^2+6bx+2c[/mm]
So ist es richtig ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 20.02.2007 | | Autor: | Ailien. |
Achso okay, also kann ich damit nicht viel rechnen. Wenn ich die allerdings aufstelle die letzte Bedingung kann ich doch in den berechneten anderen dreien, die ungraden Exponenten einfach wegstreichen oder?
Gruß, Ailien
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 20.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
stell mal die Gleichung f(x)=f(-x) auf, dann siehst Du
[mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=ax^4-bx^3+cx^2-dx+e [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
daraus kannst Du zwei Gleichungen für die Koeffizienten ableiten.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 20.02.2007 | | Autor: | Ailien. |
Hmmm das geht ja gar nicht denn da sind ja zum Schluss gar keine Exponenten mehr vorhanden...muss ich dann b und d wegstreichen? oder einfach so weiterrechnen indem ich zB III von II abziehe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 20.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
schau mal oben, da steht was man machen muss.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 20.02.2007 | | Autor: | Ailien. |
Also wenn ich mal die von die genannten Bedingungen mit I, II, III. IV nacheinander bezeichne habe ich folgendes raus:
I) 0=a+b+c+d+e
II) 1=4a+3b+2c+d
III) 0=12a+6b+2c
IV) [mm] f(x)=ax^4+cx^2+e
[/mm]
Und dann wollte ich eig die III von der II abziehen dann steht da: 8a+3b-d=1
aber ich kann doch nicht mit 3 Variablen arbeiten oder?
=( ich bin am verzweifeln
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 20.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Am Besten, du fängst wie folgt an.
[mm] f(x)=ax^{4}+bx³+cx²+dx+e
[/mm]
und jetzt, da f gerade sein soll, lässt du die ungeraden Exponenten weg.
Also:
[mm] f(x)=ax^{4}+cx²+e
[/mm]
f'(x)=4ax³+2cx
f''(x)=12ax²+2c
Und jetzt setzt du die drei Bedingungen ein
[mm] f(1)=0\Rightarrow\green{a+c+e=0}
[/mm]
[mm] f'(1)=1\Rightarrow\green{4a+2c=1}
[/mm]
[mm] f''(1)=0\Rightarrow\green{12a+2c=0}
[/mm]
Aus den Grünen Gleichungen ergibt sich jetzt folgendes LGS (Ich habe mal die Letze Gleichung noch durch 2 geteilt.)
[mm] \vmat{a+c+e=0\\4a+2c=1\\6a+c=0}
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Di 20.02.2007 | | Autor: | Ailien. |
Oh ja ich dank dir! Habe jetzt folgende Funktion: f(x)= [mm] 1/8x^4-3/4x^2+5/8
[/mm]
Gute Nacht =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Di 20.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn der letzte Term noch [mm] -\br{5}{8} [/mm] ist dann ist es wirklich richtig
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Di 20.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ihr beiden!
Seid ihr sicher? Ich erhalte nämlich für alle drei Koeffizienten umgekehrte Vorzeichen ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Mein Ergebnis: $f(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{8}*x^4+\bruch{3}{4}*x^2-\bruch{5}{8} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{8}*\left(x^4-6x^2+5\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Di 20.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
hast vollkommen recht, ich habe nur auf den letzten Term geschaut. Ich habe genau das gleiche wie Du raus.
sorry
mfg ullim
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