g-adische Bruchdarstellung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:01 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | | Oh mein Gott, ich habe schon wieder ein Problemchen , bzw Problem. |
Ich lerne gerade aus meinem Skript und hänge hier schon seit geschlagenen 2 Stunden an einem Satz: nämlich der g-adischen Bruchdarstllung reeller Zahlen. Ich bin absolut verzweifelt und verstehe nur Bahnhof, über was mein Prof hier Seitenweise schreibt. Deswegen kann ich auch ehrlichgesagt keine konkreten Fragen stellen: Ich verstehe ja garnichts, also erstes möchte ich gerne wissen, was das überhaupt ist, wofür man es braucht und wie man es anwendet, das wäre so lieb.
Dankeschön für eure HIlfe (auch schon bei vielen Fragen davor!) Ihr seid echt klasse
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Hallo Susan86!
Du kennst g-adische Darstellungen? Also ganze Zahlen, die man zur Basis g darstellt? Dann ist der Rest eigentlich recht einfach. Vor dem Komma, also bei ganzen Zahlen hat man ja nichts anderes, da stehen ja die Potenzen [mm] ...g^3g^2g^1g^0 [/mm] und nach dem Komma geht es einfach mit [mm] g^{-1}g^{-2}g^{-3}... [/mm] weiter.
Konkretes Beispiel: 0,75 im Dualsystem (also zur Basis 2) stellt man so dar:
[mm] 0,11_2
[/mm]
denn die erste 1 hinter dem Komma steht für [mm] 1*2^{-1}=0,5 [/mm] und die zweite für [mm] 1*2^{-2}=0,25, [/mm] macht zusammen: $0,5+0,25=0,75$.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Susan86 |
Das war super erklärt, aber so einfach kann es doch nicht sein, oder? In meinem Skript stehen so vieeele Formeln und Definitionen, ich schreib das jetzt einfach mal auf...
Sei [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] 2\le [/mm] g [mm] \IN, [/mm] dann setze [mm] x_0 [/mm] := (x) und für [mm] n\in\IN [/mm] sei rekursiv [mm] x_n [/mm] die größte Zahl mit [mm] \summe_{k=0}^{n}(x_k)/(g^k)\le [/mm] x. Dann ist x [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(x_k)/(g^k) [/mm] und es gilt: (*) für alle [mm] n\in\IN [/mm] : [mm] 0\le x_n\le [/mm] g-1 und für alle [mm] n\in\IN [/mm] : es existiert ein [mm] k\ge [/mm] n : [mm] x_k\not= [/mm] g-1.
Sei umgekehrt [mm] \tilde(x_0)\in\IN [/mm] und gelte für alle [mm] n\in\IN [/mm] : [mm] 0\le [/mm] tilde [mm] (x_n)\le [/mm] g-1 sowie (*), dann konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\tilde x_n)/(\tilde g^n) [/mm] und die Zahlen [mm] \tilde x_n [/mm] sind alle identisch mit den Zahlen [mm] x_n, [/mm] die nach dem obigen Verfahren für dieses x konstruiert werden. Insbesondere ist damit die g-adische Bruchdarstellung eindeutig.
Oh Hilfe!!! Ich weiß es hört sich echt doof an aber ich verstehe hier garnichts. Kann mir das vielleicht jemand "übersetzten" Wäre euch echt dankbar, ich würde ja auch eigene Vorschläge liefern, wie es ja auch üblich ist, aber ich verstehe es echt nicht.
Schonmal Dankeschööön
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Hallo Susan86,
> Das war super erklärt, aber so einfach kann es doch nicht
> sein, oder? In meinem Skript stehen so vieeele Formeln und
> Definitionen, ich schreib das jetzt einfach mal auf...
>
> Sei [mm]x\in\IR[/mm] und [mm]2\le[/mm] g [mm]\IN,[/mm] dann setze [mm]x_0[/mm] := (x) und für
> [mm]n\in\IN[/mm] sei rekursiv [mm]x_n[/mm] die größte Zahl mit
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(x_k)/(g^k)\le[/mm] x. Dann ist x
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(x_k)/(g^k)[/mm] und es gilt: (*) für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] : [mm]0\le x_n\le[/mm] g-1 und für alle [mm]n\in\IN[/mm] : es
> existiert ein [mm]k\ge[/mm] n : [mm]x_k\not=[/mm] g-1.
Für n=0 gilt:
[mm]\summe_{k=0}^{0}\bruch{x_{k}}{g^{k}} = \bruch{x_{0}}{g^{0}}= x_{0}\le x[/mm]
Demnach ist [mm]x_{0}[/mm] die größte ganze Zahl für die [mm]x_{0} \le x [/mm] gilt
Für n=1 sieht das so aus:
[mm]\summe_{k=0}^{1}{\bruch{x_{k}}{g^{k}}}=\bruch{x_{0}}{g^{0}}+\bruch{x_{1}}{g^{1}}= x_{0}+\bruch{x_{1}}{g}\le x[/mm]
Wie bekommen wir nun [mm]x_{1}[/mm] heraus?
Dazu multiplizieren wir obiges mit g durch.
Dann steht da:
[mm]g*x_{0}+x_{1} \le g*x \Rightarrow x_{1} \le g*x-g_x_{0}[/mm]
Demnach ist [mm]x_{1}[/mm] die größte ganze Zahl für die [mm]x_{1} \le g*x-g*x_{0} [/mm] gilt
Für ein beliebiges n gilt daher:
[mm]\summe_{k=0}^{n}{\bruch{x_{k}}{g^{k}}}=\summe_{k=0}^{n-1}{\bruch{x_{k}}{g^{k}}}+\bruch{x_{n}}{g^{n}}= \le x[/mm]
[mm]\Rightarrow g^{n}*\left(\summe_{k=0}^{n-1}{\bruch{x_{k}}{g^{k}}}+\bruch{x_{n}}{g^{n}}\right) \le g^{n}*x [/mm]
[mm]\Rightarrow x_{n}+\summe_{k=0}^{n-1}{\bruch{g^{n}*x_{k}}{g^{k}}} \le g^{n}*x[/mm]
[mm]\Rightarrow x_{n} \le g^{n}*x-\summe_{k=0}^{n-1}{g^{n-k}*x_k}[/mm]
Demnach ist [mm]x_{n}[/mm] die größte ganze Zahl für die [mm]x_{n} \le g^{n}*x-\summe_{k=0}^{n-1}{g^{n-k}*x_k} [/mm] gilt
Dieses Spielchen kann man bis ins unendliche ([mm]n \rightarrow \infty[/mm] machen. Entweder bricht der g-adische Bruch ab oder hat eine Periode.
Siehe dazu: ![[]](/images/popup.gif) g-adische Zahl
> Sei umgekehrt [mm]\tilde(x_0)\in\IN[/mm] und gelte für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> : [mm]0\le[/mm] tilde [mm](x_n)\le[/mm] g-1 sowie (*), dann konvergiert
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\tilde x_n)/(\tilde g^n)[/mm] und die
> Zahlen [mm]\tilde x_n[/mm] sind alle identisch mit den Zahlen [mm]x_n,[/mm]
> die nach dem obigen Verfahren für dieses x konstruiert
> werden. Insbesondere ist damit die g-adische
> Bruchdarstellung eindeutig.
> Oh Hilfe!!! Ich weiß es hört sich echt doof an aber ich
> verstehe hier garnichts. Kann mir das vielleicht jemand
> "übersetzten" Wäre euch echt dankbar, ich würde ja auch
> eigene Vorschläge liefern, wie es ja auch üblich ist, aber
> ich verstehe es echt nicht.
>
> Schonmal Dankeschööön
>
Gruß
MathePower
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