fundierte Mengen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:55 So 13.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Definition: Eine Menge M heißt fundiert, falls gilt: [mm] $M=\emptyset$ [/mm] oder es ex. eine Menge [mm] $U\in [/mm] M$ mit [mm] $U\cap M=\emptyset$.
[/mm]
Nun zu der eigentlichen Aufgabe:
Zeige: Ist die Menge M nicht fundiert, dann ex. für jedes [mm] $n\in\omega$ [/mm] [gemeint ist hier [mm] $\omega=\left\{0,1,2,3,...\right\}$, [/mm] die Menge aller natürlichen Zahlen nach von Neumann] eine endliche Folge [mm] $x_1,...,x_{n+1}\in [/mm] M$ mit [mm] $x_{n+1}\in x_n\in [/mm] ... [mm] \in x_2\in x_1\in [/mm] M$.
Als Anmerkung steht zu dieser Aufgabe noch: "Intuitiv möchte man diese Folge zu einer unendlichen Folge fortsetzen." |
Hallo, liebe Helferinnen & Helfer!
Ich habe mit der obigen Aufgabe so meine Probleme bzw. keinen wirklichen Ansatz. Ich fange aber einfach mal an!
---------------------------
Sei M also eine nicht fundierte Menge. Das bedeutet nach der obigen Definition meines Erachtens:
[mm] $M\neq\emptyset\wedge \forall U\in [/mm] M: [mm] U\cap M\neq\emptyset$
[/mm]
Die Menge M ist also nicht-leer. Das heißt, es können abzählbar viele (endlich oder unendlich) oder überabzählbar viele Elemente in der Menge M enthalten sein.
Meine Idee ist, daß man vielleicht mit [mm] $x_1:=M$ [/mm] beginnt. Da nach Voraussetzung [mm] $x_1\cap M\neq\emptyset$ [/mm] gibt es [mm] $x_2$ [/mm] mit [mm] $x_2\in x_1\Rightarrow x_2\in [/mm] M$.
Weiter komme ich jedoch leider nicht!
Ist das überhaupt sinnvoll, was ich hier angefangen habe, was spielt die Menge [mm] $\omega$ [/mm] hier für eine Rolle?
Könnte mir jemand bitte helfen?
Achso, bevor ich das wieder vergesse zu erwähnen: Ich hab diese Aufgabe auch hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1503493#post1503493
[Ich hoffe, das ist okay.]
Dennis
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Mo 14.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Dennis,
da die Frage im anderen Forum bereits beantwortet wurde, gehe ich mal davon aus, dass sie sich erübrigt hat.
Am Rande anmerken möchte ich noch, dass es sich bei eurer Definition von fundiert um eine sehr ungewöhnliche handelt. Eine Menge M braucht bei euch nur die leere Menge zu enthalten [mm] ($\emptyset\in [/mm] M$), schon ist sie fundiert, egal wie "wild" die sonstigen Elemente von M aussehen. Normalerweise fordert man eine viel stärkere Eigenschaft, wenn man von Fundiertheit spricht.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:22 Mo 14.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Dort habe ich es jetzt so vorgeschlagen:
Die Menge M ist ja nicht fundiert, das bedeutet (nach der zu der Aufgabe mitgelieferten Definition), daß es ein [mm] $x_1\in [/mm] M$ gibt und man somit für $n=0$ schon eine Folge, wie sie die Aufgabe verlangt, gefunden hat.
Dann habe ich gesagt:
Da [mm] $x_1\cap M\neq\emptyset$, [/mm] gibt es ein [mm] $x_2\in x_1$, [/mm] das ebenfalls in M enthalten ist und [mm] $x_2\in x_1\in [/mm] M$.
Und so weiter und so fort.
Das wurde also okay bezeichnet. Oky, gut.
Aber was ich noch nicht ganz verstanden habe, ist (und das konnte auch in dem anderen Forum nicht so ganz geklärt werden), warum hier [mm] $\omega$ [/mm] auftaucht, womit ja die Menge aller natürlichen Zahlen nach von Neumann gemeint sein soll.
Liebe Grüße
Dennis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Mi 16.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
