fundamentalmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Do 17.05.2007 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der reellen polynome vom Grad < n und x1,...,xn [mm] \in \IR [/mm] fest.
B : V x V [mm] \to \IR [/mm] ; (f,g) [mm] \mapsto \summe_{i=1}^{n} [/mm] f(xi)g(xi)
a) zeigen sie dass B positv definite, symmetrische Bilinearform ist.
b) Sei n=4 und x1= 1 x2=-1 x3=2 x4=0.
Berechnen sie die fundamental matrix von B bezüglich der Basis {1,x,x²,x³} |
also die a) habe ich bereits gelöst, war ja auch nicht weiter schwer, einfach nur definitionen nachrechnen. aber bei der b) habe ich etwas mehr probeme.
ich haben mir gedacht die Summe kann man auch folgendermaßen schreiben:
f(x1)*g(x1) + f(x2)*g(x2) + f(x3)*g(x3) + f(x4)*g(x4)
allerdings weiß ich nicht wie man damit jetzt die fundamental matrix ausrechnet. ich weiß dass die einträge der matrix an der stelle i,j = f(bi,bj) sind aber wie rechnen ich das aus???
wäre nett wenn mir das mit der fundamentalmatrix jemand erklären könnte.
gruß trixi
ich habe diese frage in keinem weiteren interneforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Sa 19.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Trixi!
> Sei V der Vektorraum der reellen polynome vom Grad < n und
> x1,...,xn [mm]\in \IR[/mm] fest.
>
> B : V x V [mm]\to \IR[/mm] ; (f,g) [mm]\mapsto \summe_{i=1}^{n}[/mm]
> f(xi)g(xi)
>
> a) zeigen sie dass B positv definite, symmetrische
> Bilinearform ist.
>
> b) Sei n=4 und x1= 1 x2=-1 x3=2 x4=0.
> Berechnen sie die fundamental matrix von B bezüglich
> der Basis {1,x,x²,x³}
>
> also die a) habe ich bereits gelöst, war ja auch nicht
> weiter schwer, einfach nur definitionen nachrechnen.
Genau.
> aber
> bei der b) habe ich etwas mehr probeme.
>
> ich haben mir gedacht die Summe kann man auch
> folgendermaßen schreiben:
> f(x1)*g(x1) + f(x2)*g(x2) + f(x3)*g(x3) + f(x4)*g(x4)
Ja, das kannst du. Damit kannst du also fuer gegebene Polynome $f$ und $g$ den Ausdruck $B(f, g)$ ausrechnen.
> allerdings weiß ich nicht wie man damit jetzt die
> fundamental matrix ausrechnet. ich weiß dass die einträge
> der matrix an der stelle i,j = f(bi,bj) sind aber wie
> rechnen ich das aus???
Die Eintraege sind [mm] $B(b_i, b_j)$, [/mm] wobei [mm] $b_1 [/mm] = 1$, [mm] $b_2 [/mm] = x$, [mm] $b_3 [/mm] = [mm] x^2$, $b_4 [/mm] = [mm] x^3$ [/mm] und [mm] $b_5 [/mm] = [mm] x^4$ [/mm] ist. Du kannst jetzt diese Elemente einfach in $B$ einsetzen und, wie du oben selber schon beschrieben hast, ausrechnen. Damit bekommst du die Fundamentalmatrix.
LG Felix
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