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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und M ein R-Modul mit Untermodul N.
Zeige: Sind N und M/N freie R-Moduln, so auch M.
Gilt auch die Unkehrung? |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, denn ich weiß nicht so recht, wie ich das zeigen soll. Darum kann ich auch noch nicht wirklich einen Lösungsansatz posten.
Was ein Untermodul ist, ist mir bekannt: [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N: rn [mm] \in [/mm] N.
frei bedeutet doch, dass es eine Basis gibt, d.h. N hat eine Basis und M/N hat eine Basis.
In meinem Skript steht auch drin: N ist frei, wenn folgendes gilt:
T [mm] \subset [/mm] N: [mm] \oplus [/mm] R [mm] \to [/mm] N, [mm] (r_{t})_{t \in T} \mapsto \summe_{t \in T} r_{t} [/mm] t Isomorphismus
Wie muss ich vorgehen, um zu zeigen, dass M eine Basis hat und damit frei ist?
Ich vermute, dass die Umkehrung nicht gilt. Muss man das durch einen Widerspruch zeigen?
Ich hoffe, es kann mir jemand etwas helfen.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 23.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> Sei R ein Ring und M ein R-Modul mit Untermodul N.
> Zeige: Sind N und M/N freie R-Moduln, so auch M.
> Gilt auch die Unkehrung?
>
> Hallo,
> ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, denn
> ich weiß nicht so recht, wie ich das zeigen soll. Darum
> kann ich auch noch nicht wirklich einen Lösungsansatz
> posten.
> Was ein Untermodul ist, ist mir bekannt: [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm] R
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N: rn [mm]\in[/mm] N.
> frei bedeutet doch, dass es eine Basis gibt, d.h. N hat
> eine Basis und M/N hat eine Basis.
> In meinem Skript steht auch drin: N ist frei, wenn
> folgendes gilt:
> T [mm]\subset[/mm] N: [mm]\oplus[/mm] R [mm]\to[/mm] N, [mm](r_{t})_{t \in T} \mapsto \summe_{t \in T} r_{t}[/mm]
> t Isomorphismus
Am einfachsten kannst du ueber Basen argumentieren:
- Da $N$ frei ist, hat es eine Basis [mm] $(v_i)_{i \in I}$.
[/mm]
- Da $M/N$ frei ist, hat es eine Basis [mm] $(w_j [/mm] + [mm] N)_{j\in J}$.
[/mm]
- Die Behauptung ist nun, dass [mm] $\{ v_i \mid i \in I \} \cup \{ w_j \mid j \in J \}$ [/mm] eine Basis von $M$ ist.
- Zeige zuerst, dass es ein Erzeugendensystem ist.
- Zeige dann, dass es linear unabhaengig ist.
> Ich vermute, dass die Umkehrung nicht gilt. Muss man das
> durch einen Widerspruch zeigen?
Nein, du gibst ein Gegenbeispiel an. Es gibt nicht fuer jeden Ring ein Gegenbeispiel, etwa wenn $R$ ein Koerper ist, so stimmt auch die Umkehrung (da ueber einem Koerper alle Moduln Vektorraeume, also frei sind).
Nimm doch $R = M = [mm] \IZ$. [/mm] Wie sehen die $R$-Untermoduln von $M$ aus? Und wie die Quotienten?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hab versucht, mit deiner Hilfe weiter zu arbeiten.
> Am einfachsten kannst du ueber Basen argumentieren:
> - Da [mm]N[/mm] frei ist, hat es eine Basis [mm](v_i)_{i \in I}[/mm].
> -
> Da [mm]M/N[/mm] frei ist, hat es eine Basis [mm](w_j + N)_{j\in J}[/mm].
> -
> Die Behauptung ist nun, dass [mm]\{ v_i \mid i \in I \} \cup \{ w_j \mid j \in J \}[/mm]
> eine Basis von [mm]M[/mm] ist.
Wie kommt man drauf, dass das die Basis für M ist, also ich meine die Vereinigung von den beiden Basen? Fehlt bei der 2.Mengen nicht das N?
> - Zeige zuerst, dass es ein Erzeugendensystem ist.
> - Zeige dann, dass es linear unabhaengig ist.
Kann man auch begründen mit dem Basisergänzungssatz, dass { [mm] v_i \mid [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] \} \cup \{ w_j \mid j \in J \} [/mm] eine Basis ist? Denn { [mm] v_i \mid [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] \} [/mm] ist eine Basis von N und dann ich doch diese Basis ergänzen zu einer Basis für M oder nicht?
Ich hab nun gezeigt, dass { [mm] v_i \mid [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] \} \cup \{ w_j \mid j \in J \} [/mm] ein Erzeugendensystem ist:
Sei v [mm] \in [/mm] M. Dann kann man v so darstellen: v = [mm] \alpha_{1} v_{i_{1}} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n} v_{i_{n}} [/mm] + [mm] \beta_{1} w_{j_{1}} [/mm] + ... + [mm] \beta_{m} w_{j_{m}} [/mm] , wobei [mm] \alpha_{i}, \beta_{i} \in [/mm] R und [mm] i_{1},..., i_{n} \in [/mm] I, [mm] j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{m} \in [/mm] J paarweise verschieden.
Ich bin mir da nicht sicher, ob da so stimmt, weil ich auch nicht weiß, ob ich die Basis [mm] (w_{j} [/mm] + N) _{j [mm] \in [/mm] J} nehmen muss, oder nur { [mm] w_{j} [/mm] | j [mm] \in [/mm] J }.
Lineare Unabhängigkeit:
0 = [mm] \alpha_{1} v_{i_{1}} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n} v_{i_{n}} [/mm] + [mm] \beta_{1} w_{j_{1}} [/mm] + ... + [mm] \beta_{m} w_{j_{m}}
[/mm]
Alle [mm] \alpha_{i} [/mm] = 0, da [mm] v_{i} [/mm] eine Basis bilden.
Nun weiß ich nicht, ob auch die [mm] \beta_{i} [/mm] alle 0 sind, weil ich nicht weiß, ob { [mm] w_{j} [/mm] | j [mm] \in [/mm] J } auch eine Basis ist, oder nur [mm] (w_{j} [/mm] + N) _{j [mm] \in [/mm] J}.
>
> > Ich vermute, dass die Umkehrung nicht gilt. Muss man das
> > durch einen Widerspruch zeigen?
>
> Nein, du gibst ein Gegenbeispiel an. Es gibt nicht fuer
> jeden Ring ein Gegenbeispiel, etwa wenn [mm]R[/mm] ein Koerper ist,
> so stimmt auch die Umkehrung (da ueber einem Koerper alle
> Moduln Vektorraeume, also frei sind).
>
> Nimm doch [mm]R = M = \IZ[/mm]. Wie sehen die [mm]R[/mm]-Untermoduln von [mm]M[/mm]
> aus? Und wie die Quotienten?
M ist ein [mm] \IZ-Modul [/mm] und M hat nach Vor. eine Basis. Ein Untermodul von [mm] \IZ [/mm] ist doch {1} oder? Denn [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z: z*1 [mm] \in \IZ. [/mm] Gibt es noch weitere Untermoduln?
Die Quotienten von [mm] \IZ [/mm] sind doch [mm] \IQ [/mm] oder?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 24.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> vielen Dank für deine Antwort. Ich hab versucht, mit
> deiner Hilfe weiter zu arbeiten.
> > Am einfachsten kannst du ueber Basen argumentieren:
> > - Da [mm]N[/mm] frei ist, hat es eine Basis [mm](v_i)_{i \in I}[/mm].
> >
> -
> > Da [mm]M/N[/mm] frei ist, hat es eine Basis [mm](w_j + N)_{j\in J}[/mm].
> >
> -
> > Die Behauptung ist nun, dass [mm]\{ v_i \mid i \in I \} \cup \{ w_j \mid j \in J \}[/mm]
> > eine Basis von [mm]M[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist.
> Wie kommt man drauf, dass das die Basis für M ist, also
> ich meine die Vereinigung von den beiden Basen?
Ueberleg dir doch mal folgendes: Wenn du einen (endlichdimensionalen) Vektorraum $V$ ueber einem Koerper $K$ hast und einen Untervektorraum $U$, wie bekommst du dann eine Basis von $U$ und von $V/U$?
(Ueber Koerpern sind alle Moduln frei und heissen Vektorraeume, insofern hat das etwas mit der Aufgabe zu tun.)
(Wenn dir dazu nichts einfaellt: schau dir die Dimensionsformel fuer lineare Abbildungen an und insbesondere den Beweis davon. Wende ihn auf die Abbildung $V \to V/U$, $v \mapsto v + U$ an.)
> Fehlt bei der 2.Mengen nicht das N?
Nein, das muss da ja gerade nicht stehen, ansonsten waeren das ja keine Elemente aus $M$.
> > - Zeige zuerst, dass es ein Erzeugendensystem ist.
> > - Zeige dann, dass es linear unabhaengig ist.
>
> Kann man auch begründen mit dem Basisergänzungssatz, dass {
> [mm]v_i \mid[/mm] i [mm]\in[/mm] I [mm]\} \cup \{ w_j \mid j \in J \}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Basis
> ist? Denn { [mm]v_i \mid[/mm] i [mm]\in[/mm] I [mm]\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist eine Basis von N und
> dann ich doch diese Basis ergänzen zu einer Basis für M
> oder nicht?
Das kannst du natuerlich auch. Aber den Satz kannst du nur anwenden, wenn $M$ frei ist. Und das willst du gerade zeigen.
> Ich hab nun gezeigt, dass { [mm]v_i \mid[/mm] i [mm]\in[/mm] I [mm]\} \cup \{ w_j \mid j \in J \}[/mm]
> ein Erzeugendensystem ist:
> Sei v [mm]\in[/mm] M. Dann kann man v so darstellen: v = [mm]\alpha_{1} v_{i_{1}}[/mm]
> + ... + [mm]\alpha_{n} v_{i_{n}}[/mm] + [mm]\beta_{1} w_{j_{1}}[/mm] + ... +
> [mm]\beta_{m} w_{j_{m}}[/mm] , wobei [mm]\alpha_{i}, \beta_{i} \in[/mm] R und
> [mm]i_{1},..., i_{n} \in[/mm] I, [mm]j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{m} \in[/mm] J paarweise
> verschieden.
Na, das musst du gerade zeigen, um zu zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist.
> Ich bin mir da nicht sicher, ob da so stimmt, weil ich auch
> nicht weiß, ob ich die Basis [mm](w_{j}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
+ N) _{j [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J} nehmen
> muss, oder nur { [mm]w_{j}[/mm] | j [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
J }.
Um die $\alpha_i, \beta_i$ von oben zu konstruieren benoetigst du die Basis $(w_j + N)_{j \in J}$ von $M/N$. Um $v$ dann anzugeben benoetigst du jedoch die $w_j$ selber.
> Lineare Unabhängigkeit:
> 0 = [mm]\alpha_{1} v_{i_{1}}[/mm] + ... + [mm]\alpha_{n} v_{i_{n}}[/mm] +
> [mm]\beta_{1} w_{j_{1}}[/mm] + ... + [mm]\beta_{m} w_{j_{m}}[/mm]
>
> Alle [mm]\alpha_{i}[/mm] = 0, da [mm]v_{i}[/mm] eine Basis bilden.
Wenn da nicht noch die [mm] $\beta_i w_{j_i}$ [/mm] waeren, haettest du recht. So einfach geht das aber hier nicht.
Du musst zuerst zeigen, dass die [mm] $\beta_j [/mm] = 0$ sind, und dann kannst du damit argumentieren, dass die [mm] $v_i$ [/mm] eine Basis bilden.
Wie schon gesagt, schau dir erstmal den Beweis von der Dimensionsformel fuer lineare Abbildungen (zwischen Vektorraeumen) an.
> > > Ich vermute, dass die Umkehrung nicht gilt. Muss man das
> > > durch einen Widerspruch zeigen?
> >
> > Nein, du gibst ein Gegenbeispiel an. Es gibt nicht fuer
> > jeden Ring ein Gegenbeispiel, etwa wenn [mm]R[/mm] ein Koerper ist,
> > so stimmt auch die Umkehrung (da ueber einem Koerper alle
> > Moduln Vektorraeume, also frei sind).
> >
> > Nimm doch [mm]R = M = \IZ[/mm]. Wie sehen die [mm]R[/mm]-Untermoduln von [mm]M[/mm]
> > aus? Und wie die Quotienten?
>
> M ist ein [mm]\IZ-Modul[/mm] und M hat nach Vor. eine Basis.
Gib doch mal eine an.
> Ein Untermodul von [mm]\IZ[/mm] ist doch {1} oder? Denn [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z:
> z*1 [mm]\in \IZ.[/mm] Gibt es noch weitere Untermoduln?
Das ist ganz sicher kein Untermodul. Er ist weder bezueglich Skalarmultiplikation noch bezeuglich Addition abgeschlossen.
> Die Quotienten von [mm]\IZ[/mm] sind doch [mm]\IQ[/mm] oder?
Nein, das sind sie nie.
Ein Quotient von [mm] $\IZ$ [/mm] ist sowas wie [mm] $\IZ/2\IZ$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 So 24.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
danke erstmal für deine Hilfe.
Ich hab mir den Beweis der Dimensionsformel angeschaut und mir ist nun klar, warum die Basis von M { [mm] v_{i} [/mm] | i [mm] \in [/mm] I } [mm] \cup [/mm] { [mm] w_{j} [/mm] | j [mm] \in [/mm] J } ist.
Um zu zeigen, dass dies ein Erzeugendensystem ist, hast du gesagt, soll ich die Basis [mm] (w_{j} [/mm] + [mm] N)_{j \in J} [/mm] von M/N betrachten.
Diese Basis ist ein Erzeugendensystem:
[mm] \alpha_{1} (w_{1} [/mm] + N) + ... + [mm] \alpha_{m} (w_{m} [/mm] + N) = w + N [mm] \in [/mm] M/N
also, [mm] \alpha_{1} w_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{1} [/mm] N + .... + [mm] \alpha_{m} w_{m} [/mm] + [mm] \alpha_{m} [/mm] N = w + N
und all diese [mm] \alpha_{i} [/mm] N liegen wieder in N, weil N ein Untermodul ist. Kann man dann diese Ns zu einem zusammenfassen? Oder N = 0 setzen?
Alle [mm] \alpha_{i} [/mm] sind = 0, wenn w+N = 0 ist, wegen der Linearen Unabhängigkeit.
Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich daraus, die [mm] \alpha_{i} [/mm] konstruieren soll. Und bei mir kommt nigendwo [mm] \beta_{i} [/mm] vor.
Wo liegt genau mein Fehler?
> > Lineare Unabhängigkeit:
> > 0 = [mm]\alpha_{1} v_{i_{1}}[/mm] + ... + [mm]\alpha_{n} v_{i_{n}}[/mm] +
> > [mm]\beta_{1} w_{j_{1}}[/mm] + ... + [mm]\beta_{m} w_{j_{m}}[/mm]
> >
> > Alle [mm]\alpha_{i}[/mm] = 0, da [mm]v_{i}[/mm] eine Basis bilden.
>
> Wenn da nicht noch die [mm]\beta_i w_{j_i}[/mm] waeren, haettest du
> recht. So einfach geht das aber hier nicht.
>
> Du musst zuerst zeigen, dass die [mm]\beta_j = 0[/mm] sind, und dann
> kannst du damit argumentieren, dass die [mm]v_i[/mm] eine Basis
> bilden.
Die [mm] \beta_j [/mm] sind 0, weil ( [mm] w_{j} [/mm] + N) eine Basis bilden. Das N kann ich 0 wählen, oder geht das nicht?
> Wie schon gesagt, schau dir erstmal den Beweis von der
> Dimensionsformel fuer lineare Abbildungen (zwischen
> Vektorraeumen) an.
>
> > > > Ich vermute, dass die Umkehrung nicht gilt. Muss man das
> > > > durch einen Widerspruch zeigen?
> > >
> > > Nein, du gibst ein Gegenbeispiel an. Es gibt nicht fuer
> > > jeden Ring ein Gegenbeispiel, etwa wenn [mm]R[/mm] ein Koerper ist,
> > > so stimmt auch die Umkehrung (da ueber einem Koerper alle
> > > Moduln Vektorraeume, also frei sind).
> > >
> > > Nimm doch [mm]R = M = \IZ[/mm]. Wie sehen die [mm]R[/mm]-Untermoduln von [mm]M[/mm]
> > > aus? Und wie die Quotienten?
> >
> > M ist ein [mm]\IZ-Modul[/mm] und M hat nach Vor. eine Basis.
>
> Gib doch mal eine an.
[mm] \alpha [/mm] * 1 = z [mm] \in \IZ, [/mm] die 1 erzeugt [mm] \IZ, [/mm] und es ist lin. unabhängig, weil [mm] \IZ [/mm] Integritätsring ist oder?
>
> > Ein Untermodul von [mm]\IZ[/mm] ist doch {1} oder? Denn [mm]\forall[/mm] z
> [mm]\in[/mm] Z:
> > z*1 [mm]\in \IZ.[/mm] Gibt es noch weitere Untermoduln?
>
> Das ist ganz sicher kein Untermodul. Er ist weder
> bezueglich Skalarmultiplikation noch bezeuglich Addition
> abgeschlossen.
Die Untermodule von [mm] \IZ [/mm] sind [mm] \IZ [/mm] selbst oder?
>
> > Die Quotienten von [mm]\IZ[/mm] sind doch [mm]\IQ[/mm] oder?
>
> Nein, das sind sie nie.
>
> Ein Quotient von [mm]\IZ[/mm] ist sowas wie [mm]\IZ/2\IZ[/mm].
Wenn M = [mm] \IZ, [/mm] N auch = [mm] \IZ, [/mm] dann wäre der Quotient 0, oder?
Ich hoffe, du hilfst mir etwas weiter, da mir noch nicht alles ganz klar ist.
Danke dafür.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 01.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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