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| Aufgabe | Für t [mm] \in \IR [/mm] sei [mm] B_{t} \pmat{ 3 & t \\ -1 & 1 } \in \IR^{2x2}
[/mm]
Für welche t [mm] \in \IR [/mm] besitzt [mm] B_{t} [/mm] einen Eigenvektor. |
Hallo liebe Mathecommunity,
also sicher bin ich mir bei meinem Lösungsansatz nicht, aber meine Idee erschließt sich mir, also würd ich gern mal präsentieren was ich vor habe und ich würde euch darum bitten mir zu sagen ob es richtig ist oder gänzlich der falsche Weg :)
Also da ein Eigenvektor sich dadurch auszeichnet, dass er auf ein Vielfaches von sich selbst - durch die Matrix - abgebildet wird, kam ich auf die Idee folgendes Schema zu verfolgen:
[mm] \pmat{ 3 & t \\ -1 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ 3x_{1} + tx_{2}\\ -x_{1}+x_{2}}
[/mm]
Der gesuchte gemeinsame Nenner der beiden ist (üblicherweise) [mm] \lambda [/mm] .
[mm] x_{1} [/mm] * [mm] \lambda [/mm] = [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] tx_{2} \gdw \lambda [/mm] = [mm] \bruch{3x_{1} + tx_{2}}{x_{1}}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] * [mm] \lambda [/mm] = [mm] -x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} \gdw \lambda [/mm] = [mm] \bruch{-x_{1} + x_{2}}{x_{2}}
[/mm]
nun gleichgesetzt ergibt sich folgende Umformungsreihe
[mm] \bruch{3x_{1} + tx_{2}}{x_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{-x_{1} + x_{2}}{x_{2}} [/mm] | * [mm] x_{1} [/mm] * [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] \gdw 3x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] tx_{2}^{2} [/mm] = [mm] -x_{1}^{2}+ x_{1}x_{2} [/mm] | [mm] -x_{1}x_{2} [/mm]
[mm] \gdw 2x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] tx_{2}^{2} [/mm] = [mm] -x_{1}^{2}
[/mm]
(hier ist mir aufgefallen das die pq-Formel hilfreich sein könnte und habs auch gleich ausprobiert, also weiter umgestellt)
[mm] \gdw x_{1}^{2}+ 2x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] tx_{2}^{2} [/mm] = 0
[mm] \gdw x_{1_{1,2}} [/mm] = [mm] -x_{2} \pm \wurzel{x_{2}^2 - tx_{2}^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1_{1,2}} [/mm] = [mm] -x_{2} \pm \wurzel{x_{2}^2(1 - t)}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1_{1,2}} [/mm] = [mm] -x_{2} \pm x_{2} \wurzel{(1 - t)}
[/mm]
Sooo da nun unter Wurzel (1-t) steht und wir bekanntlich nicht von negativen Zahlen die Wurzel ziehen (ausser im Komplexen Bereich, was nicht der Fall ist) müsste meiner Meinung nach die richtige Lösung sein, dass t kleiner gleich 1 sein muss.
Warum ich das ganze im Zusammenhang setzte ist, da der "eine" oder die "einen" Eigenvektoren sowieso von t abhängig sind, hab ich mir gedacht , dass ich erst variable unendlich viele Eigenvektoren hypothetisch erzeuge und dann rückschließe auf t über die Auflösung der Eigenvekoren bedingt durch t.
Hoffe ihr wisst wie ich das alles meinte und freu mich über jedwege Kritik :)
lg
Michael
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moin bluedragon,
Deine Lösung ist soweit richtig.
Falls du das charakteristische Polynom schon kennst könntest du es auch damit berechnen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom
(meiner Meinung nach etwas einfacher zu rechnen, aber wohl Geschmackssache^^)
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 20.09.2011 | | Autor: | bluedragon |
Hi Shadowmaster,
vielen Danke und erstmal, oooh mein Gott :D man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht :D
Natürlich ist es so einfach, das CP steht im direkten Zusammenhang mit den Eigenwerten, die wiederum mit den Eigenvektoren und die wiederum mit t .
Gut das ich jetzt den schnelleren Weg weiß , durch die (richtige)Umfahrt hab ich zwar wenigstens selber verstanden worums geht , aber schneller ist einfach besser :D
lg
Michael
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