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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Sa 05.01.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Sei R kommut. Ring mit 1. Beweise oder widerlege:
a) [mm] (Z_9 [/mm] , +) ist frei als Z-Modul.
b) (9Z, +) ist frei als Z-Modul.
c) [mm] Z_3 [/mm] , [mm] Z_2, Z_3 [/mm] x [mm] Z_2 [/mm] zusammen mit + sind frei als [mm] Z_6 [/mm] - Modul
d) Wenn R Körper ist, dann ist ein R_Modul dasselbe wie ein R-Vektorraum |
Wie geht man denn vor, um zu überprüfen, ob ein Modul frei ist? Ich weiß, dass es eine Basis geben muss. Aber wie macht man das konkret?
Danke schonmal im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Hat jemand eine Idee wie man da ran gehen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 So 06.01.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ich glaube, man muss schauen, ob es eine eindeutige Darstellung der 0 gibt. Bin mir aber nicht sicher...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 06.01.2013 | | Autor: | hippias |
Je nach dem: Entweder gibst Du eine Menge an, von der Du beweist, dass sie eine Basis bildet, oder Du fuehrst die Existenz einer Basis zu einem Widerspruch. Beim ersten Beispiel ergibt sich ein solcher aus Ordnungsgruenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke schonmal. Ehrlich gesagt blicke ich aber nicht so ganz dahinter. Könntest du mir, vielleicht in Ansätzen, an einem beispiel mal vorführen, wie das geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst bei der a) z.B. zeigen, dass jedes einzelne Element schon nicht linear unabhängig ist. Finde mal z.B. eine Zahl a [mm] \in \IZ, [/mm] sodass [mm] a*\bar{1}=\bar{0} (\bar{1},\bar{0} \in \IZ_9). [/mm] Daraus folgt, dass es keine Basis geben kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Deine Antwort verwirrt mich ein wenig, weil man ja [mm] Z_9 [/mm] mit der Verkünpfung + betrachten soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
In einem Modul M über einem Ring R hast du aber immer noch eine Skalarmultiplikation $.: R [mm] \times [/mm] M [mm] \rightarrow [/mm] M$. Wie bei Vektorräumen, du kannst die Vektoren alle nur mit "+" addieren, aber dennoch kannst du noch Skalare aus dem zugrunde liegenden Körper dranmultiplizieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Und weil es keine Zahl mit der Eigenschaft [mm] a\cdot{}\bar{1}=\bar{0} (\bar{1},\bar{0} \in \IZ_9) [/mm] gibt, kann ich daraus folgern, dass keine Basis existiert und die Aussage falsch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Nein, es gibt so eine Zahl!
Du hast du z.B. [mm] 9*\bar{1}=\bar{9}=\bar{0} [/mm] und $9 [mm] \not=0$ [/mm] in [mm] $\IZ$. [/mm] Damit ist die [mm] $\bar{1}\in \IZ_9$ [/mm] nicht linear unabhängig. Genau wie jede andere Zahl in [mm] $\IZ_9$.
[/mm]
Vielleicht nochmal von vorn: Wäre [mm] $\IZ_9$ [/mm] ein freier [mm] $\IZ-Modul$, [/mm] dann gäbe es eine Basis [mm] \{b_1,\ldots, b_n\}. [/mm] Diese Basis wäre insbesondere linear unabhängig. Nun formuliere nochmal sauber, wieso [mm] \{b_1,\ldots, b_n\} [/mm] aber niemals linear unabhängig sein kann (und damit keine Basis sein kann).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Ok, vielen Dank, ich glaube, das habe ich jetzt verstanden.
Bei der 2. Aussage denke ich dass diese stimmt. Denn jedes Element ist linear unabhängig. Ich weiß aber leider nicht, wie ich das beweisen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ja, die b) ist frei, aber die Begründung stimmt nicht! Gib einfach mal eine Basis an und weise nach, dass das eine ist. Weise dafür lineare Unabhängigkeit nach und dass das ein Erzeugendensystem ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
könntest du mir bitte kurz erklären, wie man eine Basis findet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Ich kenne kein Rezept, um allgemein eine zu finden. Aber wie sieht denn dein Modul M aus? [mm] M=\{\ldots, -27, -18, -9, 0, 9, 18, 27, \ldots\}. [/mm] Da sind also alle Vielfachen von 9 drinnen. Welche Basis könntest du denn mal probieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 06.01.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
aus wie vielen Elementen besteht denn die Basis? Reicht nicht ein Element aus , z.B. 9, denn damit kann man ja alles erzeugen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Genau, mit [mm] \{9\} [/mm] klappt das ganze. Weise nach, dass das ein Erzeugendensystem ist und dass [mm] \{9\} [/mm] linear unabhängig ist. Sollte nicht zu schwierig sein. Gehe einfach streng nach den Definitionen.
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