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| Aufgabe | In einer elektronischen Anwendung taucht die folgende [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktion f(t)
auf, von der der Techniker folgende Zeichnung erstellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Geben Sie auf einer Periode die abschnittsweise gegebene Funktionsgleichung der Funktion f(t) an.
b) Skizzieren Sie die Funktion auf dem Intervall [mm] [−4\pi, 4\pi].
[/mm]
c) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten [mm] a_n [/mm] (n [mm] \in \IN_0 [/mm] ) und [mm] b_n [/mm] (n [mm] \in \IN_0) [/mm] der zu f(t) zugehörigen Fourier-Reihe.
d) Geben Sie insbesondere die Werte von [mm] a_0, a_1 [/mm] und [mm] a_4 [/mm] an.
e) Ohne Benutzung der Ergebnisse der Teilaufgaben c) und d) geben Sie mit Hilfe der Zeichnung und Aussagen aus der Vorlesung an, welchen Funktionswert die Fourier-Reihe [mm] F_\infty(t) [/mm] an den Stellen t = [mm] \pi/2 [/mm] und t = [mm] 3\pi/2 [/mm] liefern wird. |
hallo,
ich weiß nicht wie ich die funktion beschreiben soll..
a)vielleicht erstmal so:
[mm] f(t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0
aber was mache ich mit dem mittleren stück?
b) ich denke das zeichnen schaffe ich, einfach diese anordnung auf [mm] 2\pi [/mm] perioden fortsetzen
und für die folgenden aufgaben brauche ich die aufgabe a, denke ich.
allerdings kann ich mit aufgabe e) anfangen soll, aber vielleicht wenn ich die anderen habe...
mfg
pandabaer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Fr 29.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Hallo pandabaer,
für a sollte der Hinweis reichen, dass der fehlende Teil aus den Abschnitten zweier Geraden besteht.
Bei b soll es sicher doch [mm] $[-4\pi; 4\pi]$ [/mm] heißen. Auch dann ist Dein Text nicht klar. Du meinst vermutlich das Richtige. Formuliere einmal prözise, was Du zu tun gedenkst.
Deine Einschätzung zu c und d stimmt.
Wie ist es mit Deiner Antwort zu e?
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so, habe jetzt bei a) folgendes:
[mm] f(t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0
bei aufgabe b, wollte ich jetzt die funktion von [mm] -4\pi [/mm] bis [mm] 4\pi [/mm] periodisch fortsetzen. also direkt nach [mm] 2\pi [/mm] so weiter zeichnen wie es bei 0 angefangen hat, stimmt das so bis jetzt?
[irgendwie kann man die funktion nicht lesen, ich schreibs mal in worten: 1) 1 für [mm] 0
mfg
pandabaer
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> so, habe jetzt bei a) folgendes:
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0
>
> bei aufgabe b, wollte ich jetzt die funktion von [mm]-4\pi[/mm] bis
> [mm]4\pi[/mm] periodisch fortsetzen. also direkt nach [mm]2\pi[/mm] so weiter
> zeichnen wie es bei 0 angefangen hat, stimmt das so bis
> jetzt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [irgendwie kann man die funktion nicht lesen, ich schreibs
> mal in worten: 1) 1 für [mm]0
> [mm]\pi/2
> [mm]3\pi/2
>
> mfg
> pandabaer
also ne gerade besteht immer aus m*x+b, du jedoch hast jeweils nur die steigung m angegeben
gruß tee
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oh, hab ich vergessen:)
[mm] f(t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0
so, jetzt müssts passen..
aber wie berechne ich diese koeffizienten bei aufgabe b)?
muss ich da alle 4 funktionsteile einzeln mit den integrationsformeln berechenen? ich verstehe das noch nicht so ganz mit den koeffizeinten:(.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo pandabaer,
male Dir doch auch mal die Funktion für negative t auf, sie soll ja periodisch fortgesetzt werden. Dann siehst Du, dass die Funktion gerade ist, was die Rechnung entsprechend vereinfacht. Die Sinuskoeffizienten der Fourierreihe müssen also 0 sein.
Viele Grüße,
Infinit
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das verstehe ich jetzt nicht, muss ich denn nicht für jeden einzelnen der 4 funktionabschnitte schauen ob er gerade ist oder nicht? ich hätte jetzt gedacht der erste und letzte sind gerade und 2. und 3. ungerade...und dann damit jeweils arbeiten...
wie komme ich darauf dass die gesamte funktion gerade ist u wie kann ich das aus der zeichnung lesen?
mgf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Nein, Du musst jetzt nicht für jeden Teilabschnitt getrennt nachschauen, denn die Funktion ist doch als 2-Pi-periodische Funktion definiert. Wie sie zwischen 0 und 2 Pi aussieht, weisst Du, repetiere einfach diesen Abschnitt nach rechts und links. An der y-Achse stoßen die konstanten Teile aneinander, das Ganze führt zu einer geraden Funktion, die dann entsprechend einfach wieder auszurechnen ist.
Viele Grüße,
Infinit
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was heißt gerade funktion? dass die übergänge zwischen den ienezlnen perioden direkt glatt überlaufen? und ungerade ist dann wenn sie an einer anderen stelle weiter gehn, kann man das so sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 30.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Gerade heisst, dass du an der y-Achse spiegeln kannst. in formeln f(x)=f(-x)
Und natürlich geht es um die Gesamtfunktion, die aus den einzelnen stücken zusammengesetzt ist.
Gruss leduart
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okay, dann gilt also [mm] b_n [/mm] =0
und für [mm] a_n [/mm] beginne ich mal mit:
[mm] a_n=\bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(t) cos(nt) dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\pi}[\integral_{0}^{\pi/2}{1*cos(nt) dt } [/mm] + [mm] \integral_{\pi/2}^{\pi}{(-\bruch{2}{3\pi}*t-\bruch{4}{3})*cos(nt) dt}]
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\pi}[\bruch{(sin(nt)}{n})_{0}^{\pi/2} [/mm] - [mm] \integral_{\pi/2}^{\pi}{(\bruch{2}{3\pi}*t*cos(nt) dt}-\integral_{\pi/2}^{\pi}{\bruch{4}{3}*cos(nt) dt } [/mm] ]
[mm] =\bruch{2}{\pi}[(1/n-0) [/mm] - [mm] \bruch{2}{3\pi}*[(t*\bruch{sin(nt)}{n})_{\pi/2}^{\pi} [/mm] - [mm] \integral_{\pi/2}^{\pi}{\bruch{(sin(nt))}{n}dt}] [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}[\bruch{sin(nt)}{n}]_{\pi/2}^{\pi}]
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\pi} (\bruch{1}{n}-\bruch{2}{3\pi}[(0-\bruch{\pi*sin(n*\pi/2}{2n})-1/n[\bruch{-cos(nt)}{n}]_{\pi/2}^{\pi}] [/mm] - [mm] \bruch{4}{3n}(0-1/n))
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{n\pi}-\bruch{2}{3*\pi*n}-\bruch{2}{3\pi*n^2}+\bruch{8}{3\pi*n}
[/mm]
[mm] =\bruch{6n+2n+2+8n}{3*\pi*n^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(8n+1)}{3*\pi*n^2}
[/mm]
ist das so richtig?
damit könnte ich ja aufgabe d einfach durch einsetzten lösen...
habs nochmal überarbeitet!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
prüf deine Integrale noch mal nach cos(nt) integriert etwa fehlt ein Faktor 1/n, das vorzeichen von [mm] cos(n\pi) [/mm] hängt vom Vorzeichen ab. usw.
ein bissel genauer arbeitn.
und [mm] a_0 [/mm] fehlt noch.
Gruss leduart
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habs nochmal überarbeitet, jetzt müsste es stimmen..?
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und wie gehe ich jetz an aufgabe e) ran? muss ich da irgendeinen grenzwert oder so berechnen und wenn ja, welchen:)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
an den Stelle [mm] \pi/2 [/mm] ist ne Sprungstelle. Was sagt denn da deine Vorlesung? Warum hältst du dich nicht einfach an die Anweisung?
Gruss leduart
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da finde ich eben nichts konkretes, nur dass es in komplexer schreibweise dargestellt wird und davon der limes gebildet. Und noch den Appriximationssatz. Weiß aber eben nich was ich hier machen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo pandabär
Wenns da steht, habt ihr sicher besprochen, was an Sprungstellen passiert. guck dir mal die Bildchen in deinem anderen thraed und in wiki bei fourrierreihen an.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
gilt das wirklich für alle n? setz mal beim einsetzen der Grenzen n=2 oder n=4!
Gruss leduart
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für n=4 bekomme ich [mm] a_4 =\bruch{11}{8\pi}
[/mm]
[mm] a_2=\bruch{17}{6\pi}
[/mm]
oder meinen sie auch wieder vor dem einsetzen der grenzen...
ich versteh den sinn dahinter einfach nicht und finde es deswegen schwer mich hier einzuarbeiten:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bie n=2 krieg ich was anderes raus: kannst du nicht endlich mal in deine Formel VOR wirklich VOR Einsetzen der Grenzen die 2 für n einsetzen.
Noch mal schreib ich das nicht.
Gruss leduart
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