folgenstetig => epsilon-delta < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mi 28.09.2011 | | Autor: | GK13 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Funktion f, die in x folgenstetig ist, in x auch epsilon-delta-stetig ist. |
Hey,
ich weiß nicht so Recht, wie ich an den Beweis rangehen sollen.
ich hab mir jetzt schon aufgeschrieben:
folgenstetig heißt: |xn-x| < epsilon => |f(xn) - f(x)| < epsilon.
und epsilon delta stetig da muss es zu jd epsilon > 0 ein delta > 0 geben, sd für alle y aus I mit (y-x) < delta auch |f(y)-f(x)| < epsilon gilt.
Ich weiß ersten nicht recht, wie ich das delta in meine Def reinbekomme und zweitens ob ich das y einfach durch ein xn austauschen kann, oder ob ich das anderes machen muss?
Für ein Tipp wäre ich sehr dankbar!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 28.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die FolgenStetigkeit falsch hingeschrieben!
Es fehlt für ALLE Folgen [mm] {x_n} [/mm] gilt...
schreib die beiden Definitionen zuerst mal exakt auf!
dann konstruier dir aus den vielen folgen was passendes für y
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Do 29.09.2011 | | Autor: | GK13 |
Okay, du hast wohl recht, das war nicht ordentlich genug.
1) Eine reele Fkt [mm] f:I->\IR, I\subseteq\IR [/mm] ist folgenstetig in x [mm] \in [/mm] I, wenn [mm] \forall [/mm] Folgen [mm] (x_{n}) \in [/mm] I [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] x_{n} [/mm] -> x => [mm] f(x_{n}) [/mm] -> f(x)
d.h. [mm] |x_{n}-x|<\epsilon [/mm] => [mm] |f(x_{n}-f(x)|<\epsilon
[/mm]
2) Eine Funktion f:I -> [mm] \IR [/mm] ist stetig in x [mm] \in [/mm] I, wenn es zu jd. [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt, sd. [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] I mit [mm] |y-x|<\delta [/mm] auch [mm] |f(y)-f(x)|<\epsilon [/mm] gilt.
Das sind die beide Definitionen, die ich habe. Allerdings hab ich sie mir schon mehrfach so aufschrieben, und brauche immernoch einen Tipp, auch wenns sehr offensichtlich erscheint, wenn mans etwas besser kann.
Wäre wirklich toll, wenn jemand einen Tipp geben könnte!
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 29.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo auch bei der folgenstetigkeit hast du [mm] |x-x_n|<\delta [/mm] => [mm] |f(x_n)-f(x)|<\epsilon [/mm]
oder besser es existiert ein N, so dass für alle n>N gilt [mm] |f(x_n)-f(x)|<\epsilon [/mm]
jetzt hast du [mm] |x-y|<\delta [/mm] dann gibt es ein [mm] x_n=y [/mm] usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 01.10.2011 | | Autor: | GK13 |
Ach! Es war mir nicht bewusst, dass ich dafür einfach delta nehmen kann.. also das ich EIN delta und EIN epsilon nehmen kann.. ich hatte gedacht, es muss dasselbe sein.
Der Beweis sieht jetzt so aus:
f ist folgenstetig in x [mm] \in [/mm] I =>
[mm] \forall \delta [/mm] > 0: [mm] |x_{n}-x| [/mm] < [mm] \delta \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] => [mm] \forall \epsilon [/mm] >0: [mm] |f(x_{n})-f(x)| [/mm] < [mm] \delta \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N' [mm] \in \IN
[/mm]
=> [mm] \forall \delta [/mm] > 0 gibt es N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |x_{n}-x|<\delta \forall [/mm] N [mm] \in \IN
[/mm]
=> [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 gibt es N' [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |f(x_{n})-f(x)|<\epsilon \forall [/mm] N' [mm] \in \IN
[/mm]
nun def. y:= [mm] x_{n} [/mm]
und f(y):= [mm] f(x_{n})
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] max{N, N'}.
=> zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ex. ein [mm] \delta [/mm] >0, sd.
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] I mit [mm] |y-x|<\delta [/mm] auch [mm] |f(y)-f(x)|<\epsilon [/mm] gilt.
=> epsilon-delta stetig.
Ist das so korrekt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 01.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke ich hab dich auf den falschen Wef geführt.
so geht es nicht.
du musst den Beweis indirekt machen:
Annahme f(x) folgestetig und nicht [mm] \epsilon \delta [/mm] stetig. d.h. es gibt ein [mm] \epsilon_1>0 [/mm] zudem es kein [mm] \delta [/mm] gibt so dass. aus [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] folgt .
wähle [mm] \delta=1/2 [/mm] dann gibt es in der umgebung [mm] |x-x_0|<1/2 [/mm] ein x1 so dass
[mm] |f(x1)-f(x_o)|>\epsilon1
[/mm]
dann [mm] \delta=1/2^2... [/mm] x2, [mm] \delta1/2^n x_n [/mm] die [mm] x_n [/mm] konvergieren gegen [mm] x_0
[/mm]
aber [mm] |f(x_n)konvergiert [/mm] nicht widerspruch
Gruss leduart
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