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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mi 04.01.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | sei n [mm] \in \IZ, [/mm] z [mm] \in \IN [/mm] mit |z| < 1 und sei [mm] (w_{k})_{k \ge n} [/mm] eine Folge mit [mm] \bruch{w_{k+1}}{w_{k}} [/mm] = z für alle k [mm] \ge [/mm] n. zeigen sie
[mm] \summe_{k=n}^{\infty} w_{k} [/mm] = [mm] \bruch{w_{n}}{1-z} [/mm] |
leider hab ich keine ahnung wie ich diese aufgabe angehen soll...wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte oder mir jemand die lösung geben könnte, dass ich versuchen kann den lösungsweg nachzu vollziehen
mfg trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
> sei n [mm]\in \IZ,[/mm] z [mm]\in \IN[/mm] mit |z| < 1 und sei [mm](w_{k})_{k \ge n}[/mm]
Du meinst sicher $z [mm] \in \IC$ [/mm] oder $z [mm] \in \IR$?
[/mm]
> eine Folge mit [mm]\bruch{w_{k+1}}{w_{k}}[/mm] = z für alle k [mm]\ge[/mm] n.
> zeigen sie
>
> [mm]\summe_{k=n}^{\infty} w_{k}[/mm] = [mm]\bruch{w_{n}}{1-z}[/mm]
> leider hab ich keine ahnung wie ich diese aufgabe angehen
> soll...wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte oder
> mir jemand die lösung geben könnte, dass ich versuchen kann
> den lösungsweg nachzu vollziehen
Nun, schreib doch mal [mm] $w_{n+i}$ [/mm] als ''Funktion'' von [mm] $w_n$ [/mm] wie folgt: Da [mm] $\frac{w_{n+1}}{w_n} [/mm] = z$ ist, ist also [mm] $w_{n+1} [/mm] = z [mm] w_n$. [/mm] Da [mm] $\frac{w_{n+2}}{w_{n+1}} [/mm] = z$ ist, ist also ... Das solltest du jetzt selber hinbekommen 
So. Und nun bist du eigentlich so gut wie fertig: Klammere [mm] $w_n$ [/mm] aus, mach eine Indexverschiebung, und erinnere dich an die gute alte geometrische Reihe.
LG Felix
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