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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mo 21.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | a) folgt aus der Nichtexistenz eines Häufungspunktes einer Folge positiver Zahlen [mm] x_n \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
b) Eine im intervall (0,1] definierte stetig reellwertige Funktion f sei nicht nach unten beschränkt. Folgt daraus [mm] \limes_{x\rightarrow\ O } [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
c) Jede monotone nach oben beschränkte Folge ist konvergent
d) Jede monotone Teilfolge einer Folge besitzt eine beschränkte Teilfolge
e) Hat jede Cauchyfolge einen Grenzwert in Q/R?
f) Jede rationale Zahl ist Grenzwert einer Folge irrationaler Zahlen
g)Die Folge an = [mm] (-1)^{n}hat [/mm] keine konvergente Teilfolge
h) Jede stetige Funkion f: (0,1) ist beschränkt |
Hallo!
Ich habe irgendwie mit vielen Grundbegriffen ein Problem, und habe hier Fragen zusammengestellt bei deren wahr/ falsch aussagen ich mir unsicher bin.
Es wäre nett, wenn ihr drueber schauen koenntet, wo ich fehler gemacht habe, und dort evtl sagen koenntet, warum das falscch ist.
Danke:
a) nein, das kann doch auch ins negativ unendliche gehen Bsp: 1- [mm] 5^{n} [/mm] oder?
b) da hab ich keine ahnung
c) ja
d) das versteh ich nicht richtig, monoton wäre ja einfach eine lineare funktion, wenn ich das ganze nun in ein INtervall verlege, dann hat es ja die INtervalle als Grenzen, ist es dadurch auch beschränkt? eigentlich ja, oder?
e) Jede Cauchyfolge hat einen Grenzwert in R aber nicht in Q
f) da bin ich mir unsicher, eigentlich wuerde ich ja sagen, aber hab keine ahnung warum oder obs stimmt.
g)hm, da bin ich mir unsicher, das springt ja einfach nur zwischen 1 und -1 ist daher nicht monoton, hat also auch keine konvergente teilfolge, oder?
h) ist das das gleiche argument, wie vorher mit dem INtervall, dann würde es stimmen?
danke schonmal fuers drueber schauen,
katja
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"a) nein, das kann doch auch ins negativ unendliche gehen Bsp: 1- $ [mm] 5^{n} [/mm] $ oder?"
Hm, bei deinem Beispiel wäre das erste Folgenglied (n=1) also [mm] x_{1}=-4, [/mm] was keine positive Zahl ist.
"b) da hab ich keine ahnung"
Also die Vorraussetzungen sind ja:
- f ist definiert auf (0,1], d.h. für jedes x aus diesem Intervall existiert ein y mit f(x)=y
- f ist stetig, d.h. keine Sprünge o.ä...
- f ist nicht nach unten beschränkt, d.h. es gibt auf diesem Intervall kein lokales Minimum, d.h. für jeden Funktionswert kannst du ein x finden, das einen noch kleineren Funktionswert produziert!!
Fang deine Überlegung vllt so an: Das rechte Ende des Intervalls (0,1] ist klar bestimmt. 1 gehört noch zum Def-Bereich, alles was größer ist als die 1 nicht mehr.
Das linke Ende jedoch ist eine Art "offenes" Ende...für jedes x>0 kannst du ein noch kleineres x finden, das immernoch größer als 0 ist und damit zum Def-Bereich gehört.
Kombiniere diese Information mit Vorraussetzung Nr.3 =D
"c) ja"
Was ist mit monoton fallenden Folgen?
"d) das versteh ich nicht richtig, monoton wäre ja einfach eine lineare funktion, wenn ich das ganze nun in ein INtervall verlege, dann hat es ja die INtervalle als Grenzen, ist es dadurch auch beschränkt? eigentlich ja, oder?"
Wie meinst du das - monoton wäre einfach eine lineare Funktion?..es gibt durchaus auch z.B. quadratische Funktionen die sich monoton verhalten...
Vorschlag: such einfach mal nach einer Folge, für die das nicht gilt.
e) Jede Cauchyfolge hat einen Grenzwert in R aber nicht in Q
ok
f) da bin ich mir unsicher, eigentlich wuerde ich ja sagen, aber hab keine ahnung warum oder obs stimmt.
toll =D...dann ist deine (richtige) Antwort ja garnichts wert^^
g)hm, da bin ich mir unsicher, das springt ja einfach nur zwischen 1 und -1 ist daher nicht monoton, hat also auch keine konvergente teilfolge, oder?
Die Folge ist alternierend (springt zwischen 1 und -1) ja, und ist damit nicht konvergent.
In deiner Teilfolge kannst du aber nur bestimmte Folgenglieder zulassen...
Welche Folgenglieder müsstest du zulassen, damit es nicht mehr alternierend ist?
h) ist das das gleiche argument, wie vorher mit dem INtervall, dann würde es stimmen?
Die Intervallgrenzen sind "offen"...d.h. für jedes x kannst du immer ein x finden dass noch kleiner oder noch größer ist...
Was bedeutet das zb für eine streng monotone Funktion?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 23.09.2009 | | Autor: | katjap |
zu den einzelnen kommentaren, manchmal hab ich noch ne frage.
a) ja klar, hab das positiv übersehen. ist nun verstanden.
b) ist nun auch deutlich erklärt, danke dafür da hat mir echt das verständnis mit den intervallgrenzen gefehlt.
c) hmok,stimmt, dann ist die aussage falsch.
d) leider kann ihc keine solche folge finden, tiP?
e) klar
f) kannst jemand mir erklären, warum das stimmt?, sich auf sein bauchgefühl zu verlassen ist leider nicht besonders gut,
g) kann ich in einer teilfolge auch einfach nur die geraden oder ungeraden folgenglieder zulassen?, hab gedacht man kann da immer nur ein Intervall wählen.
Und wenn das wirklcih nur mit dem INtervall geht, dann muesste man ja bspw. sagen 0<n<2 da wäre es dann konvergent?
h) irgendwie leuchtet mir das mit den Intervallgrenzen doch nicht ganz ein.und was das mit einer streng monotonen funktion zu tun hat, kann mir das jemand nochmal ausführlich erklären?
danke für die hilfen!
ich poste hier mal die fragen dazu nochmal, denn ist ja blöd,wenn man dazu immer hinund her klicken muss:
Aufgabe
a) folgt aus der Nichtexistenz eines Häufungspunktes einer Folge positiver Zahlen $ [mm] x_n \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $
b) Eine im intervall (0,1] definierte stetig reellwertige Funktion f sei nicht nach unten beschränkt. Folgt daraus $ [mm] \limes_{x\rightarrow\ O } [/mm] $ = - $ [mm] \infty [/mm] $
c) Jede monotone nach oben beschränkte Folge ist konvergent
d) Jede monotone Teilfolge einer Folge besitzt eine beschränkte Teilfolge
e) Hat jede Cauchyfolge einen Grenzwert in Q/R?
f) Jede rationale Zahl ist Grenzwert einer Folge irrationaler Zahlen
g)Die Folge an = $ [mm] (-1)^{n}hat [/mm] $ keine konvergente Teilfolge
h) Jede stetige Funkion f: (0,1) ist beschränkt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> zu den einzelnen kommentaren, manchmal hab ich noch ne
> frage.
>
> a) ja klar, hab das positiv übersehen. ist nun
> verstanden.
>
> b) ist nun auch deutlich erklärt, danke dafür da hat mir
> echt das verständnis mit den intervallgrenzen gefehlt.
>
> c) hmok,stimmt, dann ist die aussage falsch.
>
> d) leider kann ihc keine solche folge finden, tiP?
[mm] $a_n [/mm] =n$. Jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] ist monoton, aber nicht beschränkt.
>
> e) klar
>
> f) kannst jemand mir erklären, warum das stimmt?, sich auf
> sein bauchgefühl zu verlassen ist leider nicht besonders
> gut,
Dir sollte bekannt sein: in jedem Intervall der Form (a,b) mit a<b gibt es irrationale Zahlen, denn anderenfalls wäre (a,b) [mm] \subseteq \IQ [/mm] und damit abzählbar. Dann wäre aber auch [mm] \IR [/mm] abzählbar, Wid.
So, nun sei r [mm] \in \IQ. [/mm] Nach obigem gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] eine irrationale Zahl [mm] s_n [/mm] mit
[mm] $s_n \in [/mm] (r-1/n, r+1/n)$,
also
[mm] $|s_n-r| [/mm] < 1/n$ für jedes n.
Somit konvergiert [mm] (s_n) [/mm] gegen r
>
>
> g) kann ich in einer teilfolge auch einfach nur die geraden
> oder ungeraden folgenglieder zulassen?,
natürlich, die Folge [mm] ((-1)^n) [/mm] hat z.B. die 2 konvergenten Teilfolgen
[mm] a_{2n}=1 [/mm] und [mm] a_{2n-1}=-1
[/mm]
> hab gedacht man
> kann da immer nur ein Intervall wählen.
> Und wenn das wirklcih nur mit dem INtervall geht, dann
> muesste man ja bspw. sagen 0<n<2 da wäre es dann
> konvergent?
>
> h) irgendwie leuchtet mir das mit den Intervallgrenzen doch
> nicht ganz ein.und was das mit einer streng monotonen
> funktion zu tun hat, kann mir das jemand nochmal
> ausführlich erklären?
Aussage h) ist falsch ! Beispiel: $f(x) = 1/x$ . f ist auf (0,1) stetig aber nicht beschränt.
FRED
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>
> danke für die hilfen!
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> ich poste hier mal die fragen dazu nochmal, denn ist ja
> blöd,wenn man dazu immer hinund her klicken muss:
>
> Aufgabe
> a) folgt aus der Nichtexistenz eines Häufungspunktes
> einer Folge positiver Zahlen [mm]x_n \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
> b) Eine im intervall (0,1] definierte stetig reellwertige
> Funktion f sei nicht nach unten beschränkt. Folgt daraus
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ O }[/mm] = - [mm]\infty[/mm]
> c) Jede monotone nach oben beschränkte Folge ist
> konvergent
> d) Jede monotone Teilfolge einer Folge besitzt eine
> beschränkte Teilfolge
> e) Hat jede Cauchyfolge einen Grenzwert in Q/R?
> f) Jede rationale Zahl ist Grenzwert einer Folge
> irrationaler Zahlen
> g)Die Folge an = [mm](-1)^{n}hat[/mm] keine konvergente Teilfolge
> h) Jede stetige Funkion f: (0,1) ist beschränkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Mi 23.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke für die erklärungen.
du erklärst das so, dass auch cih das verstehen kann.
langsam kommt ein wenig licht ins dunkel :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) ja klar, hab das positiv übersehen. ist nun
> verstanden.
und wie lautet nun Deine Antwort diesbezüglich? Mach' doch mal folgenden Anfang:
Seien die [mm] $x_n$ [/mm] alle positiv und [mm] $(x_n)_n$ [/mm] habe keinen HP. Dann gibt es zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist beschränkt. Kann das sein? (Tipp: Bolzano-Weierstraß). Kann dieser Fall also eintreten?
2. Fall: [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist unbeschränkt. Hier wäre nun noch etwas zu zeigen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mi 23.09.2009 | | Autor: | katjap |
ja, dass es ohne HP keinen Grenzwert gibt ist klar.
deswegen bin ihc ja auch für das unbeschränkte;)
was muss man da noch zeigen? (wenn man was zeigen muesste, das waren alles so (wahr/falsch) fragen;)
danke fuer den hinweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Katja,
> ja, dass es ohne HP keinen Grenzwert gibt ist klar.
>
> deswegen bin ihc ja auch für das unbeschränkte;)
dass eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] positiver Zahlen unbeschränkt ist, ist nicht gleichwertig dazu, dass [mm] $x_n \to \infty$ [/mm] gilt.
Betrachte z.B.
[mm] $$x_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Diese Folge ist unbeschränkt, strebt aber nicht gegen [mm] $\infty\,.$
[/mm]
> was muss man da noch zeigen? (wenn man was zeigen muesste,
> das waren alles so (wahr/falsch) fragen;)
Naja, es geht mir darum, dass Du nicht einfach sagst, dass etwas wahr oder falsch ist, sondern auch darum, dass Du weißt, warum etwas wahr oder falsch ist.
Wie schaut's denn nun aus? Wenn alle [mm] $x_n$ [/mm] positiv sind und [mm] $(x_n)_n$ [/mm] keinen HP hat, dann muss [mm] $(x_n)_n$ [/mm] schonmal unbeschränkt sein. Die Aussage reduziert sich also auf die Frage, ob eine unbeschränkte Folge positiver Zahlen ohne HP automatisch gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
Sei also [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine unbeschränkte Folge positiver Zahlen und [mm] $(x_n)_n$ [/mm] habe keinen HP. Ist $c > [mm] 0\,$ [/mm] eine beliebige reelle Zahl, so betrachte die abgeschlossene [mm] $c\,$-Umgebung [/mm] um [mm] $c\,$ [/mm] (d.h. die Menge [mm] $\{x \in \IR: |x-c| \le c\}=[0,2c]$). [/mm] Weil [mm] $(x_n)_n$ [/mm] keinen HP hat, liegen in dieser nur endlich viele Folgenglieder. D.h. es gilt [mm] $x_n [/mm] > 2c > c$ für alle bis auf endlich viele Folgenglieder. Ergo?
P.S.:
Wenn Dir das blaugeschriebene Argument oben unklar ist:
Angenommen, es gäbe unendlich viele [mm] $x_n$ [/mm] mit $0 [mm] \le x_n \le 2c\,.$ [/mm] Dann hat [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$, [/mm] so dass $0 [mm] \le x_{n_k} \le [/mm] 2c$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] gilt. Die Folge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] hat dann nach Bolzano-Weierstraß ihrerseits eine konvergente Teilfolge [mm] $(x_{n_{k_l}})_l$, [/mm] welche in [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] konvergiert. Damit hätten wir hier den Widerspruch, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] dann doch eine konvergente Teilfolge [mm] ($(x_{n_{k_l}})_l$ [/mm] ist ja auch eine Teilfolge von [mm] $(x_n)_n$) [/mm] und damit einen HP hat, erzeugt.
Gruß,
Marcel
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