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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Sa 09.02.2008 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | In einem normierten Vektorraum gilt:
[mm] (X_n) \to [/mm] a wenn n [mm] \to \infty, [/mm]
[mm] (Y_n) \to [/mm] b
[mm] (X_n [/mm] + [mm] Y_n) \to [/mm] a+ b
Beweis:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \space \exists \space n_0 \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
[mm] \parallel (X_n [/mm] + [mm] Y_n) [/mm] - (a+ [mm] b)\parallel [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \exists n_1 \forall [/mm] n [mm] \ge n_1: \parallel X_n [/mm] - a [mm] \parallel [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] \exists n_2 \forall [/mm] n [mm] \ge n_2: \parallel X_n [/mm] - a [mm] \parallel [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Sei [mm] n_0 [/mm] = [mm] max\{n_1, n_2\} \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
[mm] \parallel (X_n [/mm] + [mm] Y_n) [/mm] - (a+ [mm] b)\parallel [/mm] = [mm] \parallel X_n [/mm] - a [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel Y_n [/mm] - b [mm] \parallel [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
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Hallo ,
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
Definition von Grenzwert
[mm] X_n [/mm] eine Folge und a [mm] \in [/mm] X ist der Grenzwert der Folge, wenn [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \forall [/mm] n [mm] \ge n_0, [/mm] sodass [mm] |X_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
also ab [mm] n_0 [/mm] liegen alle Glieder der Folge in der offenen Kugel k(a, [mm] \varepsilon), [/mm] habe ich immer verstanden
aber hier habe ich ein komischer beweis, der mich zu fragen lässt, wie die Definition von Grezwert überhaupt ist, oder ob ich sie richtig verstanden habe
diesen Beweis verstehe ich nicht, woher diese [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] kommen, oder oder oder
naja kann mir jemand bitte erklären wie dieser beweis ging....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 So 10.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Herkunft von n1,n2 aus der Voraussetzung, dasss [mm] x_n [/mm] gegen a konvergiert.
denn [mm] x_n [/mm] konvergiert gegen a, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0 [/mm] gibt, so dass für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt [mm] |x_n-a|<\varepsilon.
[/mm]
jetzt nimmst du eben ein [mm] \varepsilon/2 [/mm] und nennst das zugehörige [mm] N_0 [/mm] n1. entsprechend mit der Konvergenz von [mm] y_n.
[/mm]
> [mm]\parallel (X_n[/mm] + [mm]Y_n)[/mm] - (a+ [mm]b)\parallel[/mm] = [mm]\parallel X_n[/mm] - a
> [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel Y_n[/mm] - b [mm]\parallel[/mm] <
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
Hier ist noch ein Fehler:
es muss nach dem ersten Betrag ein [mm] \le [/mm] kein = (Dreiecksungleichung!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 So 10.02.2008 | | Autor: | zolushka |
hallo, danke für deine Antwort Leduart ,
nur eine Frage noch...
also n1 und n2 sind eben Folgenglieder, die in der Umgebung [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] liegt, die liegen näher an a oder b, aber
wozu brauche ich die Vorraussetzung dass ,
Sei [mm] n_0 [/mm] = max [mm] \{n_1, n_2\}
[/mm]
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> also n1 und n2 sind eben Folgenglieder, die in der Umgebung
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] liegt, die liegen näher an a oder
> b, aber
>
> wozu brauche ich die Vorraussetzung dass ,
>
> Sei [mm]n_0[/mm] = max [mm]\{n_1, n_2\}[/mm]
Hallo,
eine Voraussetzung ist das nicht.
Aus der Voraussetzung hast Du, daß es die besagten [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] gibt.
Das [mm] n_0 [/mm] wird dann definiert.
[mm] n_1 [/mm] bzw. [mm] n_2 [/mm] sind die "Schwellen" ab welchen sämtliche Glieder der Folge [mm] (X_n) [/mm] bzw. [mm] (Y_n) [/mm] dichter als [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] an a bzw. b liegen.
Nimmst Du nun das Maximum von beiden, [mm] n_0, [/mm] so kannst Du sicher sein, daß sowohl [mm] (X_n) [/mm] als auch [mm] (Y_n) [/mm] ab dem [mm] n_0-ten [/mm] Folgenglied dichter als [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] an a bzw. b liegen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 So 10.02.2008 | | Autor: | zolushka |
jetzt kapiere ich es.. DANKE !!
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