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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 09.02.2010 | | Autor: | dom88 |
| Aufgabe | bestimmen sie den grenzwert:
[mm] \wurzel[n]{\summe_{k=1}^{n} 2^k} [/mm] |
man kann die reihe auch umformen. ist ja im grunde ne geometrische reihe.
sieht dann so aus:
[mm] \wurzel[n]{\summe_{k=0}^{n} 2^k -2} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{1-2^(k+1)-2}{1-2}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1+2^(k+1)} [/mm] k+1 soll exponent von 2 sein!!!
um jetzt den grenzwert zu ermitteln, lässt man den ausdruck "laufen".
normalerweise würde man ja einfach [mm] \to_{n\to\infty} [/mm] machen. aber hier ist das irgendiwe nicht so einfach, da ja k nach n läuft und nicht nach [mm] \infty.
[/mm]
wie solls gehen?
danke schonmal im voraus.
dom
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Hallo dom88,
> bestimmen sie den grenzwert:
>
> [mm]\wurzel[n]{\summe_{k=1}^{n} 2^k}[/mm]
> man kann die reihe auch
> umformen. ist ja im grunde ne geometrische reihe.
> sieht dann so aus:
>
> [mm]\wurzel[n]{\summe_{k=0}^{n} 2^k -2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1-2^(k+1)-2}{1-2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{1+2^(k+1)}[/mm] k+1 soll exponent von 2 sein!!!
>
> um jetzt den grenzwert zu ermitteln, lässt man den
> ausdruck "laufen".
> normalerweise würde man ja einfach [mm]\to_{n\to\infty}[/mm]
> machen. aber hier ist das irgendiwe nicht so einfach, da ja
> k nach n läuft und nicht nach [mm]\infty.[/mm]
>
> wie solls gehen?
>
> danke schonmal im voraus.
Zeige (etwa per Induktion oder der Formel für die endliche geometrische Reihe):
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2 [/mm] \ \ $ für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Dann ist der Rest einfach ...
>
> dom
Gruß
schachuzipus
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