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| Aufgabe | | es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine folge und [mm] (h_{n}) [/mm] eine konvergente folge von häufungswerten von [mm] (a_{n}). [/mm] Zeigen Sie: der grenzwert h* von [mm] (h_{n}) [/mm] ist auch ein häufungspunkt von [mm] (a_{n}) [/mm] |
wie muss man sich das vorstellen? [mm] (a_{n}) [/mm] muss doch eine divergente folge sein, denn sonst hätte diese nur einen häufungswert oder? was genau ist eigentlich ein häufungswert(mal anders ausgedrückt als die gängige definition). fasst man also diese häuf.w.in einer folge zusammen, so soll nach Vor. diese konvergent sein. der grenzwert h* dieser folge soll also auch ein häufungspunkt von [mm] (a_{n}) [/mm] sein. aber das wiederum würde doch heißen, dass h* auch ein element von [mm] (h_{n}) [/mm] ist oder?kann das denn sein? versteh iwie nicht wie man das zeigen soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> es sei [mm](a_{n})[/mm] eine folge und [mm](h_{n})[/mm] eine konvergente
> folge von häufungswerten von [mm](a_{n}).[/mm] Zeigen Sie: der
> grenzwert h* von [mm](h_{n})[/mm] ist auch ein häufungspunkt von
> [mm](a_{n})[/mm]
> wie muss man sich das vorstellen? [mm](a_{n})[/mm] muss doch eine
> divergente folge sein, denn sonst hätte diese nur einen
> häufungswert oder?
Eine konvergente Folge hat nur einen Häufungspunkt. Wenn also [mm] $(a_n)$ [/mm] konvergent ist, dann ist [mm] $(h_n)$ [/mm] konstant.
> was genau ist eigentlich ein
> häufungswert(mal anders ausgedrückt als die gängige
> definition).
Das ist ein Punkt dem die Folge "belibig nahe" kommt.
> fasst man also diese häuf.w.in einer folge
> zusammen, so soll nach Vor. diese konvergent sein. der
> grenzwert h* dieser folge soll also auch ein häufungspunkt
> von [mm](a_{n})[/mm] sein. aber das wiederum würde doch heißen,
> dass h* auch ein element von [mm](h_{n})[/mm] ist oder?
Nein, Gegenbeispiel: Du weißt ja bestimmt, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, d.h. es gibt eine surjektive Abbildung [mm] $\varphi:\IN\to\IQ$. [/mm] Nun betrachte die Folge [mm] $(\varphi(n)_{n\in\IN}$ [/mm] in den reellen Zahlen. Da [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] ist, ist jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge.
Um diese Aufgabe zu beweisen wirst du aber nicht umhin kommen mal konkret mit den Definitionen zu arbeiten. Also sei [mm] $x\in\IR$, [/mm] sodass eine Folge [mm] $h_n$ [/mm] von Häufungspunkten von [mm] $(a_n)$ [/mm] gegen x konvergiert. Behaptung $x$ ist ein Häufungspunkt von [mm] $(a_n)$... [/mm] leg los :)
Gruß, Robert
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