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| Aufgabe | Untersuchen Sie die unten angegebenen Folgen auf Konvergenz, und bestimmen Sie
gegebenenfalls den Grenzwert
[mm] (1-\bruch{1}{n!})^n [/mm] |
also für mich sieht das aus als ob das gegen 0 läuft, weil der teil in der klammer immer <1 ist und das hoch n (geometrische folge) läuft gegen null,
aber das ist ja kein beweis? und das die klammer immer <1 ist auch nicht bewiesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 14.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die unten angegebenen Folgen auf
> Konvergenz, und bestimmen Sie
> gegebenenfalls den Grenzwert
> [mm](1-\bruch{1}{n!})^n[/mm]
> also für mich sieht das aus als ob das gegen 0 läuft, weil
> der teil in der klammer immer <1 ist und das hoch n
> (geometrische folge) läuft gegen null,
> aber das ist ja kein beweis? und das die klammer immer <1
> ist auch nicht bewiesen?
Hallo,
multipliziere mal mit dem binomischen Satz aus und bilde den Grenzwert.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Sa 14.02.2009 | | Autor: | abakus |
> > Untersuchen Sie die unten angegebenen Folgen auf
> > Konvergenz, und bestimmen Sie
> > gegebenenfalls den Grenzwert
> > [mm](1-\bruch{1}{n!})^n[/mm]
> > also für mich sieht das aus als ob das gegen 0 läuft,
> weil
> > der teil in der klammer immer <1 ist und das hoch n
> > (geometrische folge) läuft gegen null,
> > aber das ist ja kein beweis? und das die klammer immer <1
> > ist auch nicht bewiesen?
Doch. Du subtrahierst von 1 eine Zahl größer Null.
>
> Hallo,
> multipliziere mal mit dem binomischen Satz aus und bilde
> den Grenzwert.
> Gruß Abakus
>
Ich möchte noch anmerken, dass bereits der Grenzwert von [mm](1-\bruch{1}{n})^n[/mm] der Wert 1/e annimmt und damit größe als Null ist. Da dein Term in der Klammer sogar etwas größer ist (weil von 1 weniger subtrahiert wird), müsste der Grenzwert zwischen 1/e und 1 liegen.
Gruß Abakus
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Hallo kinghenni,
alternativ kannst du das Sandwichlemma hernehmen und deine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n=\left(1-\frac{1}{n!}\right)^n$ [/mm] zwischen 2 Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] quetschen, die beide gegen 1 gehen
Suche zwei Folgen mit [mm] $a_n\le x_n\le b_n$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=1$
[/mm]
Dann bleibt deiner eingequetschten Folge nichts anderes übrig als auch gegen 1 zu konvergieren
Um entsprechende (nicht allzu schwer zu findende) Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] aufzuspüren, schreibe [mm] $x_n=\left(\frac{n!-1}{n!}\right)^n$ [/mm] ...
Die Abschätzung nach oben ist selbstredend ...
Für diejenige nach unten, überlege mal, ob und wie du etwa die Folge [mm] $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n_{n\in\IN}$ [/mm] ins Spiel bringen kannst ...
LG
schachuzipus
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oje ich hab noch nie nen an, bn suchen müssen, ich hab ka was ich da nehmen darf...zb [mm] (\bruch{n!}{n!})^n? [/mm] das wär kleiner und geht gegen 1
> Für diejenige nach unten, überlege mal, ob und wie du etwa
> die Folge [mm]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n_{n\in\IN}[/mm] ins
> Spiel bringen kannst ...
den tipp versteh ich garnit, auch nicht was ich mit der folge machen kann
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Hallo nochmal,
> oje ich hab noch nie nen an, bn suchen müssen, ich hab ka
> was ich da nehmen darf...zb [mm](\bruch{n!}{n!})^n?[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das wär kleiner ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") und geht gegen 1
Das ist doch größer, du hast du 1 im Zähler hinzuaddiert, um darauf zu kommen.
Und ja, die so gefundene Folge [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $b_n=\left(\frac{n!}{n!}\right)^n=1^n=1$ [/mm] strebt natürlich gegen 1; damit hast du das obere Sandwichbrötchen
>
> > Für diejenige nach unten, überlege mal, ob und wie du etwa
> > die Folge [mm]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n_{n\in\IN}[/mm] ins
> > Spiel bringen kannst ...
>
> den tipp versteh ich garnit, auch nicht was ich mit der
> folge machen kann
Das soll die untere Brötchenhälfte werden.
Es ist ab einem gewissen [mm] $n\in\IN [/mm] \ \ \ \ [mm] \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left(1-\frac{1}{n!}\right)^n$
[/mm]
Ab welchem?
Tipp: schaue, wann [mm] $n!\ge n^2$ [/mm] ist und bastel das hin
Und [mm] $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$ [/mm] strebt auch schön gegen 1 für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Damit hast du dein Sandwichpaket
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Kinghenni |
ja klar ist das größer^^...kleiner verwechsler
nun ja es gilt ab n=4 dass [mm] n!>=n^2
[/mm]
> Es ist ab einem gewissen [mm][mm] n\in\IN [/mm] \ \ \ \ [mm] \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n [/mm]
ich war mir nicht sicher ob das gegen 1 konvergiert, weil [mm] (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] wie bereits erwähnt gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] konvergiert
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