fkt stetig fortsetzen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 14.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi hab die fkt
f(x,y) = [mm] \bruch{x^2y}{x^4+y^2} [/mm] und soll sagen ob sie im ursprung stetig fortsetzbar ist.
ich weiß nicht ob ich so richtig lieg, aber wenn ich x = y = 1/n mit n gegen unendlich betrachte, dann kommt für f = 0 raus wenn ich aber x = 1/sqrt2 und y = 1/n mache, dann ist f = 1/2 ... und deshalb würde ich sagen dass es unstetig ist, ist das richtig argumentiert?
oder ist das voll der quatsch?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi hab die fkt
> f(x,y) = [mm]\bruch{x^2y}{x^4+y^2}[/mm] und soll sagen ob sie im
> ursprung stetig fortsetzbar ist.
>
> ich weiß nicht ob ich so richtig lieg, aber wenn ich x = y
> = 1/n mit n gegen unendlich betrachte, dann kommt für f = 0
> raus
Kontrollieren wir es mal:
Die Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $z_n:=(1/n,\,1/n)$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$ [/mm] erfüllt [mm] $z_n \to [/mm] 0 [mm] \in \IR^2$ [/mm] und
[mm] $$f(z_n)=f((1/n,\,1/n))=f(1/n,\,1/n)=\frac{\frac{1}{n^2}*\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{\frac{n^3}{n^4}(1+n^2)}=\frac{1}{\frac{1}{n}+n}\,.$$
[/mm]
Dies zeigt [mm] $f(z_n) \to [/mm] 0$ für die oben definierte Folge [mm] $(z_n)_n\,.$
[/mm]
> wenn ich aber x = 1/sqrt2 und y = 1/n mache, dann ist
> f = 1/2 ... und deshalb würde ich sagen dass es unstetig
> ist, ist das richtig argumentiert?
Das hier ist nun Quatsch bzw. bringt Dir nichts, da [mm] $z^{\star}_n:=(1/\sqrt{2},\,1/n)$ [/mm] nicht [mm] $z^{\star}_n \to (0,0)=0\in \IR^2\,$ [/mm] erfüllt, sondern es gilt
[mm] $$z^{\star}_n \to (1/\sqrt{2},\,0)\,.$$
[/mm]
Betrachte besser mal die Folge [mm] $(\tilde{z}_n)_n$ [/mm] definiert durch
[mm] $$\tilde{z}_n:=(1/n,\,1/n^2)\,.$$
[/mm]
Auch hier gilt [mm] $\tilde{z}_n \to (0,0)=0\in \IR^2\,,$ [/mm] aber
[mm] $$f(\tilde{z_n})=f((1/n,\,1/n^2))=f(1/n,\,1/n^2)=\frac{\frac{1}{n^2}*\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}\,.$$
[/mm]
Ein kurzer Blick sollte genügen, um [mm] $f(\tilde{z}_n)=const$ [/mm] zu erkennen (Du solltest noch den genauen Wert von [mm] $const\,$ [/mm] angeben!).
Mit den oben definierten Folgen [mm] $(z_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(\tilde{z}_n)_n$ [/mm] kannst Du dann nachher argumentieren, dass [mm] $f\,$ [/mm] in $0=(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] nicht stetig fortgesetzt werden kann.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Di 14.04.2009 | | Autor: | Phecda |
hi äh genau ich hab mich verschrieben
das ist nicht 1/wurzel2 sondern 1/wurzel(n)
und dann bekomm ich grad für f 1/2 .. und deshalb ist es nicht stetig?
weil jede teilfolge die gegen 0,0 konvergiert auch gegen einen gleichen funktionswert konvgieren muss?
oder?
danke! die aufgabe mit dem Q in den R gug ich mir morgen an, bissel spät geworden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mi 15.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi äh genau ich hab mich verschrieben
> das ist nicht 1/wurzel2 sondern 1/wurzel(n)
> und dann bekomm ich grad für f 1/2 .. und deshalb ist es
> nicht stetig?
ja, anstatt [mm] $\tilde{z}_n=(1/n,\,1/n^2)$ [/mm] kannst Du genausogut [mm] $z_n^{\star}=(1/\sqrt{n},\,1/n)$ [/mm] wählen. Dann war Deine Überlegung richtig.
> weil jede teilfolge die gegen [mm] $\red{(}$0,0$\red{)}$ [/mm] konvergiert auch gegen
> einen gleichen funktionswert konvgieren muss?
Wieso Teilfolge? Ich würde einfach so argumentieren:
Angenommen, [mm] $f\,$ [/mm] wäre in $(0,0)$ stetig fortsetzbar. Nach ![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7 aus diesem Skript muss dann mit der eben definierte Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] (d.h. [mm] $z_n=(1/n,\,1/n)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)) [/mm] gelten:
[mm] $$f(0,0)=\lim_{n \to \infty} f(z_n)=0\,.$$
[/mm]
Wäre diese so fortgesetzte Funktion nun stetig in [mm] $(0,0)\,,$ [/mm] so müsste allerdings wieder nach Satz 10.7 auch für die eben definierte Folge [mm] $(z^{\star}_n)_n$ [/mm] (also [mm] $z^{\star}_n:=(1/\sqrt{n},\,1/n)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)) [/mm] dann gelten
[mm] $$\lim_{n \to \infty}f(z^{\star}_n)=0=f(0,0)=\lim_{n \to \infty} f(z_n)\,.$$ [/mm]
Es ist aber [mm] $\lim_{n \to \infty}f(z^{\star}_n) [/mm] = 1/2 [mm] \not=0\,.$ [/mm] Widerspruch zu Satz 10.7.
> oder?
Vielleicht wolltest Du auch auf folgendes hinaus, was auch eine vernünftige Argumentation ist:
Wäre [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $(0,\,0)$ [/mm] stetig fortsetzbar, so muß (wegen Satz 10.7) eine Zahl [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] existieren, so dass für alle Folgen [mm] $(Z_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $Z_n \to [/mm] (0,0)$ dann auch [mm] $f(Z_n) \to \alpha$ [/mm] konvergiert.
Mit den oben definierten Folgen [mm] $(z_n)_n$ [/mm] und [mm] $(z^{\star}_n)_n$ [/mm] definiere man sich aber einfach die Folge [mm] $(Z_n)_n$ [/mm] durch
[mm] $$Z_n:=\begin{cases} z_n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ z^{\star}_n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Dann gilt [mm] $Z_n \to [/mm] 0=(0,0) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] aber die Folge [mm] $(f(Z_n))_n$ [/mm] ist divergent (z.B. weil die Menge der Häufungspunkte der Folge [mm] $(f(Z_n))_n$ [/mm] durch [mm] $\{0,\;1/2\}$ [/mm] gegeben ist).
P.S.:
Nur mal so als Ergänzung:
Eigentlich wäre für $f: [mm] \IR^2 \to [/mm] Y$ dann, wenn man [mm] $x=(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] als Zeilenvektor schreibt, dann für den Funktionswert von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] zu schreiben:
[mm] $$f(x)=f\big((x_1,x_2)\big)\,.$$ [/mm]
Diese Doppelklammer am Ende ist aber ersparbar, man definiert bzw. vereinbart einfach
[mm] $$(\star)\;\;\;f(x_1,x_2):=f\big((x_1,x_2)\big)\,.$$
[/mm]
Also bitte, wenn Du eine Folge [mm] $z_n=(x_n,y_n) \in \IR^2$ [/mm] hast, die gegen $(0,0)$ konvergiert, schreibe dann nicht, dass [mm] $(z_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $0,0\,$ [/mm] konvergiert, sondern schreibe es richtig, dass [mm] $(z_n)_n \equiv \big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] gegen [mm] $\blue{(}0,0\blue{)}$ [/mm] konvergiert!
Dass Du für die Folge [mm] $\Big(f\big((x_n,y_n)\big)\Big)_n$ [/mm] auch [mm] $\big(f(x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] schreiben kannst, ergibt sich aus der in [mm] $(\star)$ [/mm] getroffenen Vereinbarung.
(Generell geht das natürlich nicht nur für [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] sondern z.B. auch für auf [mm] $\IR^N$ [/mm] (mit einem festen $N [mm] \in \IN$) [/mm] definierte Funktionen. Ist also bspw. $g: [mm] \IR^N \to [/mm] Y$ mit irgendeiner Menge [mm] $Y\,,$ [/mm] so schreibt man für [mm] $(x_1,\,x_2,\,...,\,x_N) \in \IR^N$ [/mm] anstatt [mm] $g\big((x_1,\,x_2,\,...,\,x_N)\big)$ [/mm] auch einfach [mm] $g(x_1,\,x_2,\,...,\,x_N)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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