fermatsche zahlen und ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Fr 15.05.2009 | | Autor: | blink23 |
| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] F_{n} [/mm] = [mm] 2^{2^{n}} [/mm] + 1 die n-te Fermatzahl. Zeigen sie:
(i) Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] F_{n} [/mm] - 2 = [mm] \produkt_{i=0}^{n-1} F_{i}.
[/mm]
(ii) Für n,m [mm] \in [/mm] IN mit n [mm] \not= [/mm] m gilt [mm] ggT(F_{n},F_{m}) [/mm] = 1. |
Teil (i) der Aufgabe habe ich mit vollst. Induktion erledigt.
Ich brauche bei Teil (ii) nur einen Tipp. Ich nehme o.B.d.A. an, das n<m, dann weiß ich, dass [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] mit n+k=m.
dann kann ich das [mm] F_{m} [/mm] ja mit dem produkt schreiben als [mm] F_{m}=F_{n} \produkt_{i=n}^{n+k-1} F_{i} [/mm] + 2. hilft mir das weiter?
das beispiel ist von meiner algebra klausur. den teil hab ich nicht geschafft, aber mich juckt es irgendwie^^!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
wenn Du (I) gezeigt hast, ist (II) leicht zu zeigen.
Dein Ansatz stimmt aber nicht:
> [mm] F_{m}=F_{n} \produkt_{i=n}^{n+k-1} F_{i}-2
[/mm]
Richtig wäre für m=n+k, [mm] m,n,k\in\IN
[/mm]
[mm] F_m-2=F_n*\left(\produkt_{i=0}^{n-1}F_i\right)*\left(\produkt_{j=n+1}^{m-1}F_j\right)
[/mm]
Daraus folgt nun insbesondere [mm] F_m\equiv 2\mod{F_n}.
[/mm]
Für [mm] F_n>2 [/mm] (und damit für alle [mm] n\ge{0} [/mm] ) ist damit die Teilerfremdheit gezeigt.
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Fr 15.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Daraus folgt nun insbesondere [mm]F_m\equiv 2\mod{F_n}.[/mm]
Schon, aber ...
> Für [mm]F_n>2[/mm] (und damit für alle [mm]n\ge{0}[/mm] ) ist damit die
> Teilerfremdheit gezeigt.
wieso ist damit die Teilerfremdheit gezeigt? Sie können per se immer noch einen Teiler größer als 1 haben - wenn man nur die Modulo-Gleichung anschaut, denn es sind ja keine Primzahlen. Aber es folgt ja aus obiger Gleichung, dass der ggT eben die 2 teilen muss - und da die Zahlen ungerade sind, ist der ggT 1.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Fr 15.05.2009 | | Autor: | reverend |
Nein, SEcki, das stimmt nicht. Der ggT müsste nicht etwa nur eine gerade Zahl, sondern genau die 2 sein. Dass der offensichtlich unmöglich ist, habe ich allerdings nicht explizit erwähnt.
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Fr 15.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nein, SEcki, das stimmt nicht. Der ggT müsste nicht etwa
> nur eine gerade Zahl, sondern genau die 2 sein.
Da ist kein Widerspruch, auch sage ich etwas anderes: [m]ggt(F_n,F_m) | 2[/m]. Damit ist der ggT entweder 1 oder 2, wobei 2 nicht möglich ist, da die [m]F_k[/m] ungerade sind. Ich schrieb nicht, dass die 2 den ggT teilt.
> Dass der
> offensichtlich unmöglich ist, habe ich allerdings nicht
> explizit erwähnt.
Ich weiß trotzdem nicht, wie du aus [m]a\equiv 2 \, (mod b)[/m] dann [m]ggT(a,b)=1[/m] folgern willst.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Fr 15.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Ich weiß trotzdem nicht, wie du aus [m]a\equiv 2 \, (mod b)[/m]
> dann [m]ggT(a,b)=1[/m] folgern willst.
Na, genau wie Du. Wenn der ggT 2 teilt, kann er nur 1 oder 2 sein. Da aber [mm] F_n [/mm] ungerade ist, kann er nicht 2 sein. Du hast ja Recht, dass auch dieser einfache Schritt zum vollständigen Schluss dazugehört.
Liebe Grüße
reverend
|
|
|
|
