fast sichere konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:15 Do 26.01.2006 | | Autor: | Claudi85 |
| Aufgabe | Seien X, [mm] X_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] quadratintegrierbare Zufallsvariablen. Zeige, dass aus [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} [/mm] E [mm] |X_{n}-X |^2< \infty [/mm] die fast sichere Konvergenz von [mm] X_{n} [/mm] gegen X folgt .
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Habe frage nur auf diesem forum gestellt!!!!!!!
Betrachte [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} A_{n}^c [/mm] mit [mm] A_{n}^c= [/mm] { o [mm] \in [/mm] Omega:
[mm] |X_{n}(o)-X(o) [/mm] | [mm] \ge [/mm] c}
Ganz ganz vielen dank für eure Hilfe!!
LG claudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Do 26.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Claudi85!
Nehme an, dass für ein $c>0$
$P [mm] \left( \limsup_{n \to \infty} A_n^c \right) [/mm] >0$
gilt und schließe daraus (durch eine geeignete Abschätzung der Summanden) auf die Divergenz der Reihe
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{\infty} E|X_i-X|^2$.
[/mm]
Du erhältst dann also einen Widerspruch zur Voraussetzung. d.h. es muss
$P [mm] \left( \limsup_{n \to \infty} A_n^c \right) [/mm] =0$
für alle $c>0$ gelten.
Dies aber bedeutet gerade die fast sichere Konvergenz.
Liebe Grüße
Julius
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