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f(x) Rechnungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Di 14.03.2006
Autor: Quaeck

Aufgabe
K ist der Graph der Funktion mit [mm] f(x)=x^2 [/mm]
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen n in [mm] P_0(-2/4) [/mm] an K; zeichnen Sie K und n.
b) Die Normale n in [mm] P_0 [/mm] schneidet K in einem weiteren Punkt S. Bestimmen Sie S.

Also meine Frage ist eigentlich die die Aufgae b) davon. A) habe ich mit der Formel für eine Normale  ausgerechnet:

[mm] y=\bruch{1}{f'(x_0)} [/mm] * [mm] (x-x_0) [/mm] + [mm] f(x_0) [/mm]
[mm] y=\bruch{1}{(-2)^2} [/mm] * (x+2) + [mm] (-2)^2 [/mm]
[mm] y=\bruch{1}{4} [/mm] * (x+2) + 4
[mm] y=\bruch{1}{4}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + 4

[mm] y=\bruch{1}{4}x [/mm] + 4,5
......................................

Aber wie rechne ich jetzt Punkt S aus? Wie kann ich da Gleichsetzen oder Nullstellen berechnen?


        
Bezug
f(x) Rechnungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Di 14.03.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Quaeck,

> K ist der Graph der Funktion mit [mm]f(x)=x^2[/mm]
>  a) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen n in [mm]P_0(-2/4)[/mm]
> an K; zeichnen Sie K und n.
>  b) Die Normale n in [mm]P_0[/mm] schneidet K in einem weiteren
> Punkt S. Bestimmen Sie S.
>  Also meine Frage ist eigentlich die die Aufgabe b) davon.
> A) habe ich mit der Formel für eine Normale  ausgerechnet:
>  
> [mm]y=\bruch{1}{f'(x_0)}[/mm] * [mm](x-x_0)[/mm] + [mm]f(x_0)[/mm]

Da haste schon mal das Minuszeichen vergessen, denn die Steigung der Normalen berechnet sich als NEGATIVER Kehrwert der Tangentensteigung!


>  [mm]y=\bruch{1}{(-2)^2}[/mm] * (x+2) + [mm](-2)^2[/mm]

Und das stimmt mathematisch nicht, weil Du im Nenner nicht die Ableitung ff' verwendest, sondern die Funktion  f selbst.

>  [mm]y=\bruch{1}{4}[/mm] * (x+2) + 4
>  [mm]y=\bruch{1}{4}x[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + 4
>  
> [mm]y=\bruch{1}{4}x[/mm] + 4,5

Das ist NUR ZUFÄLLIG RICHTIG, weil sich da 2 Fehler gegenseitig aufheben!

> Aber wie rechne ich jetzt Punkt S aus? Wie kann ich da
> Gleichsetzen oder Nullstellen berechnen?

Naja, Du musst die Normale und die Funktion gleichsetzen, alles auf eine Seite bringen und die entstehende quadratische Gleichung lösen. Eine Lösung wird natürlich [mm] x_{1}=-2 [/mm] sein; die andere ergibt Deinen Punkt S.

mfG!
Zwerglein    


Bezug
                
Bezug
f(x) Rechnungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Di 14.03.2006
Autor: Quaeck

Okay danke soweit.
Ich habe jetzt mal alles "rübergeholt" um mit der PQ-Formel weiter zuarbeiten.
Also

[mm] x^2 -\bruch{1}{4}x [/mm] - 4,5

[mm] x_1; x_2= \bruch{1}{8} [/mm] +/-   [mm] \wurzel{(\bruch{1}{8})^2 + 4,5} [/mm]
[mm] x_1; x_2= \bruch{1}{8} [/mm] +/-   [mm] \wurzel{4,6} [/mm]
[mm] x_1= [/mm] -2
[mm] x_2= [/mm] 2,2

Und meine letzte Frage: "Y" gibts dann wenn man "x" in die funktion einsetzt?


Bezug
                        
Bezug
f(x) Rechnungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Di 14.03.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> Okay danke soweit.
>  Ich habe jetzt mal alles "rübergeholt" um mit der
> PQ-Formel weiter zuarbeiten.
>  Also
>  
> [mm]x^2 -\bruch{1}{4}x[/mm] - 4,5
>  
> [mm]x_1; x_2= \bruch{1}{8}[/mm] +/-   [mm]\wurzel{(\bruch{1}{8})^2 + 4,5}[/mm]
>  
> [mm]x_1; x_2= \bruch{1}{8}[/mm] +/-   [mm]\wurzel{4,6}[/mm]
>  [mm]x_1=[/mm] -2
>  [mm]x_2=[/mm] 2,2

Das stimmt nicht ganz, da du nicht runden darfst. Berechne doch mal den Term unter der Wurzel ganz genau. Dann steht da: [mm] \wurzel{\bruch{1}{64}+\bruch{288}{64}}. [/mm] Und dann kommt das exakte Ergebnis raus. Du könntest stattdessen auch die kompletten Dezimalzahlen aufschreiben, die eine ist zwar hier etwas länger, aber endlich lang und auch für den Taschenrechner noch nicht zu lang (jedenfalls für meinen nicht ;-)).

(Übrigens könntest du auch einfach eine Polynomdivision machen, denn die eine "Nullstelle" kennst du ja bereits.)

Überprüfen kannst du das Ergebnis selbst, indem du es einmal in die Funktionsgleichung und einmal in die Normalengleichung einsetzt.
  

> Und meine letzte Frage: "Y" gibts dann wenn man "x" in die
> funktion einsetzt?

[daumenhoch] Genau.

viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                                
Bezug
f(x) Rechnungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:48 Di 14.03.2006
Autor: Quaeck

Ok vielen Dank für deine/eure Antworten. Mein Taschenrechner hatte iene automatische "runden-Funktion" eingestellt gehabt, daher kam diese unbewusste Rundung sonst bin ich auch immer so gut es geht genau.
Naja nochmal großes dankeschön.=)

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