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| Aufgabe | | Sei f ganz = holomorph auf [mm] \IC. [/mm] Es gibt [mm] \IR-linear [/mm] unabhängige [mm] w,w'\in\IC, [/mm] so dass $f(z+w) = f(z) = f(z+w')$ für alle [mm] z\in\IC. [/mm] Zeige mit dem Satz von Liouville, dass f konstant ist. |
Hallo!
Ich muss ja zeigen, dass f beschränkt ist, dann kann ich den Satz von Liouville anwenden. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, ob mein Beweis stimmt, und ob es nicht einfacher geht.
Mein Ansatz:
Ich wähle eine Kugel-Umgebung [mm] U_{R}(0) [/mm] um 0, die sowohl w als auch w' enthält [D.h. |w| < R, |w'| < R (*)]. Weil f holomorph ist, ist f stetig, und somit insbesondere auf [mm] \overline{U_{2R}(0)} [/mm] beschränkt durch Konstante M (Stimmt das?).
Nun möchte ich diese Beschränktheit von f auf ganz [mm] \IC [/mm] übertragen. Indem ich die Voraussetzung $f(z+w) = f(z) = f(z+w')$ ausnutze, erhalte ich, dass f auf [mm] \overline{U_{2R}(\IZ*w+\IZ*w')} [/mm] jeweils beschränkt durch Konstante M ist.
Ich muss nun noch zeigen, dass diese Kugeln jedes [mm] z\in\IC [/mm] erwischen.
Sei [mm] z\in\IC [/mm] beliebig. Da w,w' [mm] \IR-linear [/mm] unabhängig und [mm] \IC [/mm] über [mm] \IR [/mm] Dimension 2 hat, gibt es [mm] \lambda,\mu\in\IR [/mm] so, dass z = [mm] \lambda*w [/mm] + [mm] \mu*w'.
[/mm]
Wir wissen, dass [mm] $Abrunden(\lambda)*w [/mm] + Abrunden(mu)*w'$ der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 2R ist. Damit ist
$|z - [mm] Abrunden(\lambda)*w [/mm] - Abrunden(mu)*w'| = [mm] |(Abrunden(\lambda)-\lambda)*w| [/mm] + [mm] |(Abrunden(\mu)-\mu)*w'| \le [/mm] |w|+|w'| < 2R$,
wegen (*), also ist z in der Kugel enthalten.
Würde das so gehen? Ist das die "einfachste" Möglichkeit, die Aufgabe sieht so einfach aus...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mi 09.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Sei f ganz = holomorph auf [mm]\IC.[/mm] Es gibt [mm]\IR-linear[/mm]
> unabhängige [mm]w,w'\in\IC,[/mm] so dass [mm]f(z+w) = f(z) = f(z+w')[/mm]
> für alle [mm]z\in\IC.[/mm] Zeige mit dem Satz von Liouville, dass f
> konstant ist.
> Hallo!
>
> Ich muss ja zeigen, dass f beschränkt ist, dann kann ich
> den Satz von Liouville anwenden. Mein Problem ist, dass ich
> nicht weiß, ob mein Beweis stimmt, und ob es nicht
> einfacher geht.
> Mein Ansatz:
>
> Ich wähle eine Kugel-Umgebung [mm]U_{R}(0)[/mm] um 0, die sowohl w
> als auch w' enthält [D.h. |w| < R, |w'| < R (*)]. Weil f
> holomorph ist, ist f stetig, und somit insbesondere auf
> [mm]\overline{U_{2R}(0)}[/mm] beschränkt durch Konstante M (Stimmt
> das?).
Ja. Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt und damit beschränkt.
>
> Nun möchte ich diese Beschränktheit von f auf ganz [mm]\IC[/mm]
> übertragen. Indem ich die Voraussetzung [mm]f(z+w) = f(z) = f(z+w')[/mm]
> ausnutze, erhalte ich, dass f auf
> [mm]\overline{U_{2R}(\IZ*w+\IZ*w')}[/mm] jeweils beschränkt durch
> Konstante M ist.
>
> Ich muss nun noch zeigen, dass diese Kugeln jedes [mm]z\in\IC[/mm]
> erwischen.
> Sei [mm]z\in\IC[/mm] beliebig. Da w,w' [mm]\IR-linear[/mm] unabhängig und
> [mm]\IC[/mm] über [mm]\IR[/mm] Dimension 2 hat, gibt es [mm]\lambda,\mu\in\IR[/mm]
> so, dass z = [mm]\lambda*w[/mm] + [mm]\mu*w'.[/mm]
>
> Wir wissen, dass [mm]Abrunden(\lambda)*w + Abrunden(mu)*w'[/mm] der
> Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 2R ist. Damit ist
>
> [mm]|z - Abrunden(\lambda)*w - Abrunden(mu)*w'| = |(Abrunden(\lambda)-\lambda)*w| + |(Abrunden(\mu)-\mu)*w'| \le |w|+|w'| < 2R[/mm],
>
> wegen (*), also ist z in der Kugel enthalten.
>
> Würde das so gehen? Ist das die "einfachste" Möglichkeit,
> die Aufgabe sieht so einfach aus...
Deine Lösung ist im Prinzip richtig, aber es ist einfacher, statt einer Kugel das von $w$ und $w'$ aufgespannte Parallelogramm zu betrachten. Dann zeigst du, dass es zu jedem [mm] $z\in\IC$ [/mm] einen Punkt $z'$ in diesem Parallelogramm gibt, mit $f(z')=f(z)$. Daraus ergibt sich, dass das Bild dieses Parallelogramms unter f gleich [mm] $f(\IC)$ [/mm] ist.
Dann geht die Argumentation genauso: Da das Parallelogramm beschränkt ist, ist sein Bild unter f beschränkt, und der Satz von Liouville schlägt zu.
Eine ähnliche Frage, nur für den Spezialfall $w=1$, $w'=i$ hatten wir neulich hier im Forum.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Hilfe!
Mit dem Parallelogramm geht es wunderbar 
Grüße,
Stefan
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