f linear & triago & nicht diag < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Sei K ein beliebiger Körper, V = M(2x2;K) und [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] ∈V.
Wir betrachten die Abbildung f: V -> V , A ↦ TAT-1
a) Zeigen sie, dass f linear ist
b) Zeigen sie, dass f trigonalisierbar, aber nicht diagonalisierbar ist |
Zu a)
soll ich hier folgendes benutzen?
k(f + g) = k(f) + k(g) & k(λf) = λk(f)
wie würde es genau aussehen?
zu b)
wie soll ich hier vorgehen?
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> Sei K ein beliebiger Körper, V = M(2x2;K) und [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
> ∈V.
>
> Wir betrachten die Abbildung f: V -> V , A ↦ TAT-1
Hallo,
leider wissen wir nicht, was T sein soll.
Wahrscheinlich die Matrix von oben.
>
> a) Zeigen sie, dass f linear ist
Hallo,
> Zu a)
>
> soll ich hier folgendes benutzen?
> k(f + g) = k(f) + k(g) & k(λf) = λk(f)
Nein.
Du sollst doch die Linearität von f nachweisen.
f bildet Matrizen in der angegebenen Art auf Matrizen ab.
Mußt also zeigen, daß für alle Matrizen A,B und alle [mm] k\in [/mm] K gilt
f(A+B)=f(A)+f(B)
f(kA)=kf(A).
> wie würde es genau aussehen?
>
>
> b) Zeigen sie, dass f trigonalisierbar, aber nicht
> diagonalisierbar ist
Da würde ich zunächst die Darstellungsmatrix von f aufstellen.
Dazu brauchst Du erstmal eine Basis von V,
mußt dann die Bilder der Basisvektoren berechnen.
ihren Koordinatenvektor bzgl der Basis hinschreiben, und diese Vektoren in die aufzustellende Matrix stecken.
Diese ist nun zu untersuchen.
LG Angela
> Zu a)
>
> soll ich hier folgendes benutzen?
> k(f + g) = k(f) + k(g) & k(λf) = λk(f)
> wie würde es genau aussehen?
>
> zu b)
> wie soll ich hier vorgehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
> Hallo,
>
> leider wissen wir nicht, was T sein soll.
> Wahrscheinlich die Matrix von oben.
> >
richtig, da ist mir ein fehler unterlaufen
T= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
zu a)
> Du sollst doch die Linearität von f nachweisen.
> f bildet Matrizen in der angegebenen Art auf Matrizen ab.
>
> Mußt also zeigen, daß für alle Matrizen A,B und alle
> [mm]k\in[/mm] K gilt
>
> f(A+B)=f(A)+f(B)
> f(kA)=kf(A).
Wäre es dann so?
f(A+B) = [mm] T(A+B)T^{-1} [/mm] = [mm] (TA+TB)T^{-1} [/mm] = [mm] TAT^{-1}+TBT^{-1} [/mm] = f(A)+f(B)
&
f(kA) = [mm] TkAT^{-1} [/mm] = [mm] kTAT^{-1} [/mm] = kf(A)
zu b) Zeigen sie, dass f trigonalisierbar, aber nicht diagonalisierbar ist
>
> Da würde ich zunächst die Darstellungsmatrix von f
> aufstellen.
>
> Dazu brauchst Du erstmal eine Basis von V,
Kann ich mir einfach eine bestimmen?
Sei B = [mm] (v_{1} [/mm] , [mm] v_{2}) [/mm] eine Basis von V, wobei [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] & [mm] v_{2} =\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
> mußt dann die Bilder der Basisvektoren berechnen.
> ihren Koordinatenvektor bzgl der Basis hinschreiben, und
> diese Vektoren in die aufzustellende Matrix stecken.
[mm] M(f)_{A}^{A'}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
(bin mir sicher, dass das jetzt falsch ist :( )
> Diese ist nun zu untersuchen.
erst ab hier mit T arbeiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > leider wissen wir nicht, was T sein soll.
> > Wahrscheinlich die Matrix von oben.
> > >
> richtig, da ist mir ein fehler unterlaufen
> T= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
>
> zu a)
>
> > Du sollst doch die Linearität von f nachweisen.
> > f bildet Matrizen in der angegebenen Art auf Matrizen
> ab.
> >
> > Mußt also zeigen, daß für alle Matrizen A,B und alle
> > [mm]k\in[/mm] K gilt
> >
> > f(A+B)=f(A)+f(B)
> > f(kA)=kf(A).
>
> Wäre es dann so?
> f(A+B) = [mm]T(A+B)T^{-1}[/mm] = [mm](TA+TB)T^{-1}[/mm] = [mm]TAT^{-1}+TBT^{-1}[/mm]
> = f(A)+f(B)
> &
> f(kA) = [mm]TkAT^{-1}[/mm] = [mm]kTAT^{-1}[/mm] = kf(A)
Ja
>
>
> zu b) Zeigen sie, dass f trigonalisierbar, aber nicht
> diagonalisierbar ist
> >
> > Da würde ich zunächst die Darstellungsmatrix von f
> > aufstellen.
> >
> > Dazu brauchst Du erstmal eine Basis von V,
> Kann ich mir einfach eine bestimmen?
> Sei B = [mm](v_{1}[/mm] , [mm]v_{2})[/mm] eine Basis von V, wobei [mm]v_{1}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] & [mm]v_{2} =\vektor{0 \\ 1}[/mm]
Das ist doch Unfug !
Es ist doch V = M(2x2;K), V ist also die Menge aller 2x2 -Matrizen mit Einträgen aus K.
FRED
> > mußt dann
> die Bilder der Basisvektoren berechnen.
> > ihren Koordinatenvektor bzgl der Basis hinschreiben,
> und
> > diese Vektoren in die aufzustellende Matrix stecken.
>
> [mm]M(f)_{A}^{A'}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> (bin mir sicher,
> dass das jetzt falsch ist :( )
>
> > Diese ist nun zu untersuchen.
> erst ab hier mit T arbeiten?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
boahhh endlich habe ich die a hinbekommen, danke!
zu b)
also muss auf jeden fall gelten,
dass [mm] v_{1} \not= v_{2} [/mm] und diese müssen l.unabh. sein
richtig?
und wie sollte es weiter gehen?
Mein Problem ist, dass ich keine Struktur habe, wie die aufgabe anzugehen ist. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Eine Basis von V ist z.B.:
[mm] B_1=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },
[/mm]
[mm] B_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },
[/mm]
[mm] B_3=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },
[/mm]
[mm] B_4=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Stelle jedes [mm] f(B_j) [/mm] als Linearkombination der obigen Basismatrizen dar.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
und wie würde eins dieser [mm] f(B_{j}) [/mm] aussehen?
zum beispiel [mm] B_{1}:
[/mm]
[mm] f(B_{1}) [/mm] = [mm] TB_{1}T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] T^{-1} [/mm] = ??
und nun?
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> und wie würde eins dieser [mm]f(B_{j})[/mm] aussehen?
> zum beispiel [mm]B_{1}:[/mm]
> [mm]f(B_{1})[/mm] = [mm]TB_{1}T^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]T^{-1}[/mm] = ??
> und nun?
Hallo,
Du bist drollig. Oder womöglich faul???
Was gibt's dann da zu rätseln?
Inverse von T berechnen,
dann lustig multiplizieren.
Wo ist das Problem?
Danach
übers Ergebnis freuen,
dieses als Linearkombination der Basisvektoren schreiben und
den Koordinatenvektor hinschreiben.
Dies ist die erste Spalte der gesuchten Matrix.
LG Angela
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> und wie würde eins dieser [mm]f(B_{j})[/mm] aussehen?
> zum beispiel [mm]B_{1}:[/mm]
> [mm]f(B_{1})[/mm] = [mm]TB_{1}T^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> * [mm]T^{-1}[/mm] = ??
> und nun?
Ist das Dein Ernst ?
Angela nennt Dich drollig.
Ich nenne Dich anders. Sags aber an dieser Stelle nicht, sonst krieg ich Ärger.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
im hohen Alter sollte man mehr an den Bluthochdruck denken :D
aber wir bleiben beim Thema:
[mm] f(B_{1})= \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] 1*B_{1}+(-1)*B_{2}+0*B_{3}+0*B_{4}
[/mm]
[mm] f(B_{2})= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] 0*B_{1}+1*B_{2}+0*B_{3}+0*B_{4}
[/mm]
[mm] f(B_{3})= \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }= 1*B_{1}+(-1)*B_{2}+1*B_{3}+-1*B_{4}
[/mm]
[mm] f(B_{4})= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] 0*B_{1}+1*B_{2}+0*B_{3}+1*B_{4}
[/mm]
sind die Koordinatenvektoren nun 4x1?
daraus würde sich dann ja eine 4x4Matrix ergeben oder?
D = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 }
[/mm]
da sich auf der Diagonale eine 0 befindet und manch andere Einträge [mm] \not=0 [/mm] sind, ist D nicht diagonalisierbar
nun müsste ich noch prüfen ob D trigonalisierbar ist und das mache ich mit der berechnung von [mm] det(D-\lambda*I_{n})
[/mm]
wenn es komplett zerfällt und es Nullstellen in [mm] \IR [/mm] gibt (mehrfache eigenwerte), ist es trigonalisierbar, ja?
bevor ich es mache, müsste ich noch die 2te zeile zur 4ten addieren, da sonst det=0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> im hohen Alter sollte man mehr an den Bluthochdruck denken
In jungen Jahren sollte man dran denken, dass man leicht einen Liter Blut durch die Nase spendet, wenn man zu vorlaut ist.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
> > im hohen Alter sollte man mehr an den Bluthochdruck denken
>
> In jungen Jahren sollte man dran denken, dass man leicht
> einen Liter Blut durch die Nase spendet, wenn man zu
> vorlaut ist.
>
> FRED
>
>
>
süß :)
Jetzt bitte ich dich aber hier mitzumachen, oder dein Mundwerk zu schließen und ne Auszeit an der frischen Luft zu machen :)
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Hallo,
es reicht.
Könntet Ihr jetzt bitte aufhören mit dem Unfug und stattdessen 'ne Runde joggen, den Garten umgraben oder meinetwegen auch eine rauchen?
Das wäre ganz entzückend.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
genau fred!
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> im hohen Alter sollte man mehr an den Bluthochdruck denken
> :D
Danke, Du bist sehr fürsorglich.
Bei mir ist diesbezüglich alles okay.
> aber wir bleiben beim Thema:
>
> [mm]f(B_{1})= \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0 }[/mm] =
> [mm]1*B_{1}+(-1)*B_{2}+0*B_{3}+0*B_{4}[/mm]
> [mm]f(B_{2})= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] =
> [mm]0*B_{1}+1*B_{2}+0*B_{3}+0*B_{4}[/mm]
> [mm]f(B_{3})= \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }= 1*B_{1}+(-1)*B_{2}+1*B_{3}+-1*B_{4}[/mm]
>
> [mm]f(B_{4})= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] =
> [mm]0*B_{1}+1*B_{2}+0*B_{3}+1*B_{4}[/mm]
Ich habe die Funktionswerte nicht nachgerechnet.
>
> sind die Koordinatenvektoren nun 4x1?
Ja. Die Basis hat ja 4 Elemente.
> daraus würde sich dann ja eine 4x4Matrix ergeben oder?
Genau. Du bildest aus einem 4-dim. Raum in einen 4-dim Raum ab, also [mm] 4\times [/mm] 4.
> D = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 }[/mm]
>
> da sich auf der Diagonale eine 0 befindet und manch andere
> Einträge [mm]\not=0[/mm] sind, ist D nicht diagonalisierbar
Moment! Verwechselst Du "Diagonalmatrix" und "diagonalisierbar"?
Ich sehe nicht auf einen Blick, ob die Matix diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
Stichworte: charakteristisches Polynom, Eigenvektoren, -werte, -räume.
LG Angela
> nun müsste ich noch prüfen ob D trigonalisierbar ist und
> das mache ich mit der berechnung von [mm]det(D-\lambda*I_{n})[/mm]
> wenn es komplett zerfällt und es Nullstellen in [mm]\IR[/mm] gibt
> (mehrfache eigenwerte), ist es trigonalisierbar, ja?
> bevor ich es mache, müsste ich noch die 2te zeile zur
> 4ten addieren, da sonst det=0
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
> > D = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 }
[/mm]
das char. Pol lautet [mm] -x^{4}+3x^{3}-3x^{2}+x
[/mm]
=> [mm] x_{1}=0 [/mm] ; [mm] x_{2;3;4}=1
[/mm]
=> D nicht diagonalisierbar! (Es darf keine doppelten EW geben)
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Hey,
eine Frage dazu: Ist das charakteristische Polynom nicht viel einfacher, nämlich [mm] X_{A} [/mm] = [mm] (1-l)^{4}
[/mm]
Aber damit nicht genug, es ist nicht diagonalisierbar, weil der Eigenraum die Dimension ungleich n (also in unserem Fall Dimension 2 anstatt der geforderten 4) hat.
Gruß
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> Hey,
> eine Frage dazu: Ist das charakteristische Polynom nicht
> viel einfacher, nämlich [mm]X_{A}[/mm] = [mm](1-l)^{4}[/mm]
Hallo,
meiner Berechnung nach ist Agueros Polynom richtig.
> Aber damit nicht genug, es ist nicht diagonalisierbar,
das stimmt.
> weil der Eigenraum die Dimension ungleich n (also in
> unserem Fall Dimension 2 anstatt der geforderten 4) hat.
Ja, die Dimensionen der alg. und geometr. Vielfachheit sind verschieden (wenn auch die Dimensionen anders sind als Du sagst), und damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
das ist ein gutes argument dass es nicht diago. ist
und wie zeigen wir noch dass es trigo. ist?
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> und wie zeigen wir noch dass es trigo. ist?
Hallo,
ein bißchen Einsatz würde ich schon erwarten von Dir. Welche Kriterien hast Du denn in der literatur gefunden?
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Do 02.05.2013 | | Autor: | Aguero |
es muss ja eine Basis bzgl [mm] M_{B}^{B}(f) [/mm] geben, jedoch habe ich keine ahnung wie ich es zeigen soll :(
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> es muss ja eine Basis bzgl [mm]M_{B}^{B}(f)[/mm] geben, jedoch habe
> ich keine ahnung wie ich es zeigen soll :(
Hallo,
zunächst mal ging doch erstmal darum, daß Du ein handliches Kriterium für die Trigonalisierbarkeit findest. (Stichwort: charakteristisches Polynom).
Zum Finden einer passenden Basis brauchst Du die Basen der Eigenräume zu den beiden Eigenwerten.
(Aber die Basis war doch gar nicht gefragt, oder?)
Ich erinnere mich, daß die Eigenräume beide eindimensional waren, sehe aber gerade nicht, wo Du die Eigenvektoren mitteilst.
der erste Vektor [mm] b_1 [/mm] der gesuchten Basis B ist der EV zu EW 0, der zweite [mm] b_2 [/mm] der zum EW 1.
Nun mußt Du noch einen Vektor [mm] b_3 [/mm] finden mit [mm] A*b_3=k_1b_1+k_2b_2+b_3 [/mm] für und für [mm] b_4 [/mm] nimmst Du dann irgendeinen, der die drei zu einer Basis ergänzt.
LG Angela
P.S.: Jetzt hatte ich doch glatt das Drücken des "Senden"-Buttons vergessen...
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> > > D = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 }[/mm]
>
> das char. Pol lautet [mm]-x^{4}+3x^{3}-3x^{2}+x[/mm]
> => [mm]x_%7B1%7D%3D0[/mm] ; [mm]x_{2;3;4}=1[/mm]
>
> => D nicht diagonalisierbar! (Es darf keine doppelten EW
> geben)
Hallo,
die Eigenwerte stimmen, aber Dein Argument für die Nichtdiagonalisierbarkeit der Matrix ist nicht richtig.
Du solltest nochmal ein wenig nachlesen.
LG Angela
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