f konstant zeigen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f ganz, und es gebe ein [mm] C\in\IR [/mm] so, dass Re(f(z)) < C für alle [mm] z\in\IC. [/mm] Zeige mit dem Satz von Liouville: f ist konstant. |
Hallo!
ich muss also zeigen, dass f beschränkt ist (Dann Liouville).
Ich habe einem anderen Thread den Ansatz
[mm] $|e^{f(z)}| [/mm] = [mm] |e^{Re(f(z)) + i*Im(f(z))}| \le |e^{Re(f(z))}| [/mm] = [mm] e^{Re(f(z))} [/mm] < [mm] e^{C}$
[/mm]
(exp in [mm] \IR [/mm] strikt monoton wachsend) entnommen. Allerdings verstehe ich nicht, wieso daraus folgt, dass f(z) beschränkt ist...
Wie muss ich weitermachen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Lippel |
> Sei f ganz, und es gebe ein [mm]C\in\IR[/mm] so, dass Re(f(z)) < C
> für alle [mm]z\in\IC.[/mm] Zeige mit dem Satz von Liouville: f ist
> konstant.
> Hallo!
>
> ich muss also zeigen, dass f beschränkt ist (Dann
> Liouville).
> Ich habe einem anderen Thread den Ansatz
>
> [mm]|e^{f(z)}| = |e^{Re(f(z)) + i*Im(f(z))}| \le |e^{Re(f(z))}| = e^{Re(f(z))} < e^{C}[/mm]
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> (exp in [mm]\IR[/mm] strikt monoton wachsend) entnommen. Allerdings
> verstehe ich nicht, wieso daraus folgt, dass f(z)
> beschränkt ist...
> Wie muss ich weitermachen?
Du weßt jetzt, dass die Funkion [mm] h(z):=e^f(z) [/mm] beschränkt ist, da sie außerdem ganz ist, ist sie nach Liouville konstant. Betrachte nun mal die Ableitung von $h$, die ja null sein muss, da $h$ konstant.
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> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Grüße, Lippel
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Hallo Lippel,
vielen Dank, hab's verstanden 
Grüße,
Stefan
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