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| Aufgabe | Sei f eine ganze Funktion. Beweisen Sie:
Seien w und w' komplexe Zahlen, die über [mm] \IR [/mm] linear unabhängig sind.
Gilt f(z+w)=f(z)=f(z+w') für alle z [mm] \in \IC
[/mm]
dann ist f konstant. |
Hallo!
Erstmal zur Klärung der Begrifflichkeiten:
Wenn w und w' über [mm] \IR [/mm] l.u. sein sollen, heißt das, dass es kein r [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass w=r*w' gilt, oder?
Dann haben wir damit angefangen, dass man dann jedes z [mm] \in \IC [/mm] so darstellen kann:
z = u w + v w' mit u,v [mm] \in \IR
[/mm]
Aber was machen wir dann?
Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh. man könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist. Oder?
Könnte mir da jemand helfen?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Do 16.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f eine ganze Funktion. Beweisen Sie:
> Seien w und w' komplexe Zahlen, die über [mm]\IR[/mm] linear
> unabhängig sind.
> Gilt f(z+w)=f(z)=f(z+w') für alle z [mm]\in \IC[/mm]
> dann ist f
> konstant.
> Hallo!
> Erstmal zur Klärung der Begrifflichkeiten:
> Wenn w und w' über [mm]\IR[/mm] l.u. sein sollen, heißt das, dass
> es kein r [mm]\in \IR[/mm] gibt, sodass w=r*w' gilt, oder?
Ja, und natürlich auch $w [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] w'$
>
> Dann haben wir damit angefangen, dass man dann jedes z [mm]\in \IC[/mm]
> so darstellen kann:
> z = u w + v w' mit u,v [mm]\in \IR[/mm]
>
> Aber was machen wir dann?
> Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh. man
> könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist.
Wir setzen:
[mm] $P:=\{ \mu w+\lambda w': 0 \le \mu \le 1 \quad und \quad 0 \le \lambda \le 1\}$
[/mm]
1. Warum hab ich diese Menge wohl P getauft ?
2. Zeige: f ist auf P beschränkt.
3. Zeige: [mm] $f(P)=f(\IC)$
[/mm]
4. Aus 2. und 3. und aus dem Satz von Liouville folgt dann, dass f auf [mm] \IC [/mm] konstant ist.
FRED
> Oder?
>
> Könnte mir da jemand helfen?
> Grüßle, Lily
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> > Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh.
> man
> > könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist.
>
> Wir setzen:
>
> [mm]P:=\{ \mu w+\lambda w': 0 \le \mu \le 1 \quad und \quad 0 \le \lambda \le 1\}[/mm]
>
> 1. Warum hab ich diese Menge wohl P getauft ?
Es ist ein Parallelogramm. Ich habe damit einen Beweis gefunden, aber ich verstehe ihn nicht so richtig.
>
> 2. Zeige: f ist auf P beschränkt.
Hier sagt der Beweis:
Dann ist f als stetige Funktion auf der kompakten Menge P beschränkt.
f ist stetig, weil sie ganz ist, oder?
>
> 3. Zeige: [mm]f(P)=f(\IC)[/mm]
Im Beweis geht es folgender Maßen weiter:
z = [mm] \mu [/mm] w + [mm] \lambda [/mm] w' mit [mm] \mu [/mm] , [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Mit | [mm] \mu [/mm] | = [mm] \gamma [/mm] , | [mm] \lambda [/mm] | = [mm] \alpha [/mm] gilt:
z' = ( [mm] \mu [/mm] - [mm] \gamma [/mm] ) w + [mm] (\lambda [/mm] - [mm] \alpha [/mm] ) w' [mm] \in [/mm] P
Aber da [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] nur positiv sind, ist doch bspw. | [mm] \mu [/mm] | = [mm] \mu [/mm] und damit sind die Klammern immer = 0
Oder übersehe ich hier was?
>
> 4. Aus 2. und 3. und aus dem Satz von Liouville folgt dann,
> dass f auf [mm]\IC[/mm] konstant ist.
Ja, genau deswegen wollte ich ja dahin, dass f konstant ist 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Do 16.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh.
> > man
> > > könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist.
> >
> > Wir setzen:
> >
> > [mm]P:=\{ \mu w+\lambda w': 0 \le \mu \le 1 \quad und \quad 0 \le \lambda \le 1\}[/mm]
>
> >
> > 1. Warum hab ich diese Menge wohl P getauft ?
> Es ist ein Parallelogramm. Ich habe damit einen Beweis
> gefunden, aber ich verstehe ihn nicht so richtig.
> >
> > 2. Zeige: f ist auf P beschränkt.
> Hier sagt der Beweis:
> Dann ist f als stetige Funktion auf der kompakten Menge P
> beschränkt.
>
> f ist stetig, weil sie ganz ist, oder?
Ja
>
> >
> > 3. Zeige: [mm]f(P)=f(\IC)[/mm]
> Im Beweis geht es folgender Maßen weiter:
> z = [mm]\mu[/mm] w + [mm]\lambda[/mm] w' mit [mm]\mu[/mm] , [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> Mit |
> [mm]\mu[/mm] | = [mm]\gamma[/mm] , | [mm]\lambda[/mm] | = [mm]\alpha[/mm] gilt:
> z' = ( [mm]\mu[/mm] - [mm]\gamma[/mm] ) w + [mm](\lambda[/mm] - [mm]\alpha[/mm] ) w' [mm]\in[/mm] P
>
> Aber da [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] nur positiv sind, ist doch bspw. |
> [mm]\mu[/mm] | = [mm]\mu[/mm] und damit sind die Klammern immer = 0
> Oder übersehe ich hier was?
Wieso sollten [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] positiv sein ??
In
" z' = ( [mm]\mu[/mm] - [mm]\gamma[/mm] ) w + [mm](\lambda[/mm] - [mm]\alpha[/mm] ) w' [mm]\in[/mm] "
haben [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] eine andere Bedeutung, als ich sie füe die Def. von P verwendet habe
FRED
>
> >
> > 4. Aus 2. und 3. und aus dem Satz von Liouville folgt dann,
> > dass f auf [mm]\IC[/mm] konstant ist.
>
> Ja, genau deswegen wollte ich ja dahin, dass f konstant ist
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Do 16.05.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
ok, danke, ich denke ich hab es jetzt kapiert
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