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| Aufgabe | Sei c > 0, [mm] $f:\IC \textbackslash \IZ\to \IC$ [/mm] holomorph mit [mm] $|f(z)|\ge [/mm] c$ für alle [mm] $z\in\IC\textbackslash\IZ$. [/mm] Zeige: f ist konstant.
2. Sei [mm] f:\IC\to\IC [/mm] holomorph, und auf [mm] \IC\textbackslash\IR [/mm] beschränkt. Folgt daraus, dass f konstant ist?
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Hallo!
Ich wollte mich an obiger Aufgabe versuchen, scheitere aber im Moment.
Ich nehme an, f wäre nicht konstant. Es ist [mm] \IC\textbackslash\IZ [/mm] ist ein Gebiet. Also muss [mm] f(\IC\textbackslash \IZ) [/mm] ein Gebiet sein (Satz der Gebietstreue).
Außerdem kann ich mit dem Minimumprinzip folgern, dass f sein Betragsminimum nicht im Inneren von [mm] \IC\textbackslash\IZ [/mm] annimmt, außer es ist Null. Das kann aber nicht sein, da [mm] |f(z)|\ge [/mm] c > 0. Also gilt sogar |f(z)| > c für alle [mm] z\in\IC\textbackslash\IZ [/mm] (sonst wäre ein z mit |f(z)| = c eine Stelle, an der f sein Betragsminimum annimmt).
Was mir noch auffällt: Wegen |f(z)| [mm] \ge [/mm] c ist auch [mm] \frac{1}{f} [/mm] auf ganz [mm] \IC\textbackslash\IZ [/mm] holomorph und es gilt [mm] $\frac{1}{|f|} \le [/mm] c$. Aber Satz von Liouville geht ja nicht.
Kann ich vielleicht so argumentieren, dass 1/|f| in [mm] \IZ [/mm] nicht größer als c werden kann und somit 1/f dort höchstens hebbare Singularitäten hat?
Würde das dann auch bei 2. so funktionieren?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei c > 0, [mm]f:\IC \textbackslash \IZ\to \IC[/mm] holomorph mit
> [mm]|f(z)|\ge c[/mm] für alle [mm]z\in\IC\textbackslash\IZ[/mm]. Zeige: f
> ist konstant.
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> 2. Sei [mm]f:\IC\to\IC[/mm] holomorph, und auf [mm]\IC\textbackslash\IR[/mm]
> beschränkt. Folgt daraus, dass f konstant ist?
>
> Hallo!
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> Ich wollte mich an obiger Aufgabe versuchen, scheitere aber
> im Moment.
>
> Ich nehme an, f wäre nicht konstant. Es ist
> [mm]\IC\textbackslash\IZ[/mm] ist ein Gebiet. Also muss
> [mm]f(\IC\textbackslash \IZ)[/mm] ein Gebiet sein (Satz der
> Gebietstreue).
>
> Außerdem kann ich mit dem Minimumprinzip folgern, dass f
> sein Betragsminimum nicht im Inneren von
> [mm]\IC\textbackslash\IZ[/mm] annimmt, außer es ist Null. Das kann
> aber nicht sein, da [mm]|f(z)|\ge[/mm] c > 0. Also gilt sogar |f(z)|
> > c für alle [mm]z\in\IC\textbackslash\IZ[/mm] (sonst wäre ein z mit
> |f(z)| = c eine Stelle, an der f sein Betragsminimum
> annimmt).
>
> Was mir noch auffällt: Wegen |f(z)| [mm]\ge[/mm] c ist auch
> [mm]\frac{1}{f}[/mm] auf ganz [mm]\IC\textbackslash\IZ[/mm] holomorph und es
> gilt [mm]\frac{1}{|f|} \le c[/mm].
Nicht ganz: es ist [mm]\frac{1}{|f|} \le 1/c[/mm].
> Aber Satz von Liouville geht ja
> nicht.
Aber bald !
> Kann ich vielleicht so argumentieren, dass 1/|f| in [mm]\IZ[/mm]
> nicht größer als c werden kann und somit 1/f dort
> höchstens hebbare Singularitäten hat?
Genau ! In jedem [mm] z_0 \in \IZ [/mm] hat 1/f eine hebbare Singularität. 1/f kann also zu einer ganzen Funktion g holomorph fortgesetzt werden, für die gilt: $|g| [mm] \le [/mm] 1/c$ auf [mm] \IC
[/mm]
Jetzt Liouville !
>
> Würde das dann auch bei 2. so funktionieren?
Nein. Es gibt ein c>0 mit $|f| [mm] \le [/mm] c$ auf $ [mm] \IC\textbackslash\IR [/mm] $
Jetzt genügt ein Stetigkeitsargument, um zu zeigen: $|f| [mm] \le [/mm] c$ auf [mm] \IR
[/mm]
Jetzt Liouville.
FRED
>
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> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
Habe es damit hinbekommen.
Grüße,
Stefan
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