f,g differenzíerbar, beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktionen f,g: (a,b) [mm] \to \IR [/mm] seien differenzierbar und es gelte f'(x)=g(x), g'(x)=f(x) für alle x [mm] \in [/mm] (a,b). Ferner sei [mm] f(x_{0})=1, g(x_{0})=0 [/mm] für ein [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b). Beweise
[mm] f^2(x)-g^2(x)=1 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (a,b). |
Hallo,
ich habe obige Aufgabe und keine rechte Idee, wie ich da weiter kommen soll....
Habe schon mehrere Ansätze versucht:
mit dem Mittelwertsatz bin ich nicht weit gekommen...;
die eins auf der rechten Seite durch [mm] f^2(x_{0}) [/mm] zu ersetzen, hat mich auch nicht viel weitergebracht...;
und zu sagen für [mm] x_{0} [/mm] gilt die Gleichung ja und dann irgendwie mit dem Differenzenquotienten auf x zu kommen hat bei mir auch nicht geklappt ... :-(
Jetzt sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr und wäre für einen Ansatz sehr dankbar.
Viele Grüße, Ned.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 Di 03.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Die Funktionen f,g: (a,b) [mm]\to \IR[/mm] seien differenzierbar und
> es gelte f'(x)=g(x), g'(x)=f(x) für alle x [mm]\in[/mm] (a,b).
> Ferner sei [mm]f(x_{0})=1, g(x_{0})=0[/mm] für ein [mm]x_{0} \in[/mm] (a,b).
> Beweise
> [mm]f^2(x)-g^2(x)=1[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] (a,b).
> Hallo,
>
> ich habe obige Aufgabe und keine rechte Idee, wie ich da
> weiter kommen soll....
>
> Habe schon mehrere Ansätze versucht:
> mit dem Mittelwertsatz bin ich nicht weit gekommen...;
> die eins auf der rechten Seite durch [mm]f^2(x_{0})[/mm] zu
> ersetzen, hat mich auch nicht viel weitergebracht...;
> und zu sagen für [mm]x_{0}[/mm] gilt die Gleichung ja und dann
> irgendwie mit dem Differenzenquotienten auf x zu kommen hat
> bei mir auch nicht geklappt ... :-(
Es geht viel einfacher. Du willst ja zeigen, dass die Funktion $h(x) := [mm] f^2(x) [/mm] - [mm] g^2(x) [/mm] - 1$ identisch 0 ist. Da diese Funktion differenzierbar ist (warum?), reicht es also aus [mm] $h(x_0) [/mm] = 0$ zu zeigen fuer ein festes [mm] $x_0$, [/mm] und $h'(x) = 0$ fuer alle $x$. (Mach dir klar warum!)
Oder hattet ihr diese Aussage noch nicht? In dem Fall wende doch mal den 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf $h$ an.
LG Felix
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Hallo Felix,
jetzt habe ich's geschnallt.
Danke, Ned.
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