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f diffbar,dann ex.Konst.ü.Norm: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mi 20.07.2005
Autor: Brinchen

Hallihallo!

Zerbreche mir über folgende Aufgabe den Kopf:

Sei f:  [mm] \IR^{m} \to \IR^{n} [/mm] eine stetig diffbare Abbildung und sei
{x  [mm] \in \IR^{m} [/mm] | f(x)  [mm] \not= [/mm] 0} in einer kompakten Teilmege erhalten. zu zeigen: Es existiert eine Konstante K, so dass  
[mm] \parallel [/mm] f(p)-f(q) [mm] \parallel \le [/mm] K* [mm] \parallel [/mm] p-q [mm] \parallel [/mm] gilt für alle p und q aus [mm] \IR^{m}. [/mm]

Kann man das genauso machen wie beim Beweis, dass es eine solche Konstante gibt, wenn eine lineare Abbildung stetig ist?
Die sieht mir nämlich so verdammt ähnlich aus, dass ich da gar keinen Unterschied sehen kann und daher auch auf keine Lösung komme.

Könnte einer von euch (gerne auch mehrere :-) ) mir wohl dabei helfen?

Dankedankedanke! Ihr seid supisupisupi :-)

Das Brinchen
        
Bezug
f diffbar,dann ex.Konst.ü.Norm: Kommentar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Mi 20.07.2005
Autor: statler

Hallo,
die Frage gehört trotz der topologischen Fachausdrücke mehr zu Analysis (Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher). Das müßte funktionieren wie bei einer entsprechenden Fkt. von R nach R, nur jetzt mit Norm statt Betrag.
Ich hoffe, irgendeiner nimmt sich der Sache an.
Gruß
Bezug
        
Bezug
f diffbar,dann ex.Konst.ü.Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Mi 20.07.2005
Autor: Gnometech

Hallo!

Naja, der grosse Unterschied zu linearen Abbildungen ist, dass die Abbildung im Allgemeinen nicht linear ist... ;-)

Aber die Lösung ist nicht schwer. Die Funktion hat kompakten Träger (das bedeutet, dass sie außerhalb einer kompakten Menge konstant o ist) und damit gilt selbiges auch für die Ableitung. Diese ist aber stetig und nimmt daher das Maximum in der Norm an (Matrixnorm in diesem Fall, die Ableitung ist ja an jedem Punkt eine Matrix!). Die Ungleichung folgt dann aus der mehrdimensionalen Variante des Mittelwertsatzes.

Alles klar? Achja, ich verschiebe das mal in die Analysis...

Gruß,

Lars
Bezug
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