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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mi 13.10.2004 | | Autor: | anika87 |
hallo...
und schon wieder sitz ich vor den Hausaufgaben und bekomme nichts hin.Vielleicht sollte ich wirklich mal an Nachhilfe denken..
also so ist die aufgabe:
Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis.Wähle die Maße dieses Rechtecks, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein Inhalt möglichst groß wird...
Text aufgaben sind so grauenhaft !!!!
anika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Mi 13.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich Annika!
Also, bei solchen Aufgaben musst du im Allgemeinen erstmal schauen, was du optimieren sollst: in deiner Aufgabe ist es der Flächeninhalt des Querschnittes des Kanales. Unabhängig davon: wichtig ist, dass du diese zu optimierende Variable mit den anderen Bezeichnungen ausdrücken kannst. Beispiel: der Flächeninhalt eines Rechteckes ist für Seitenlängen a und b exakt [mm] $a\cdot [/mm] b$ (ich weiß, lächerliches Beispiel, aber du sollst es dir ja klar machen). Oder aber der Flächeninhalt des Kanalquerschnittes. Den kannst du ausrechnen, indem du den Flächeninhalt des Rechteckes nimmst und den des Halbkreises addierst. Es ergibt sich also: [mm] $A=a\cdot b+\frac{\pi\cdot r^2}{2}$.
[/mm]
Das war der erste Schritt.
Im zweiten musst du nun dafür sorgen, dass du die Gleichung für die zu optimierende Variable nur von einer einzigen anderen Variable abhängig machst. So ist es nicht möglich, eine sinnvolle Analyse der Funktion [mm] $A(a,b,r)=a\cdot b+\frac{\pi\cdot r^2}{2}$ [/mm] durchzuführen. Du musst also schauen, was dir noch gegeben ist, bzw. wie du die Variablen so von den anderen ausdrücken kannst, dass letztenendes nur noch eine Funktion abhängig von einer Veränderlichen vorliegt.
Genau das kannst du in dem Beispiel schön machen:
Du hast den Umfang des gesamten Kanalquerschnittes, der sich aus der Summe der Breite des Kanales, zwei mal der Höhe des Rechteckes und dem Umfang des Halbkreises zusammensetzt. Es gilt also (für a als Breite, b als Höhe und r als Radius): [mm] $U=a+2b+\frac{2\pi r}{2}$. [/mm] Dies stellst du jetzt nach einer der Variablen um, z.B. nach [mm] b:$\gdw b=\frac{U-a-\pi r}{2}$. [/mm] Damit hast du schon eine Variable eliminiert und kannst den Term für $b$ in die Ausgangsfunktion einsetzen: [mm] $A(a,r)=a\left(\frac{U-a-\pi r}{2}\right)+\pi r^2$. [/mm] Der letzte Schritt ist auch nicht mehr schwer: der Radius des Beckens ist die Hälfte der Breite des Kanales, also folglich [mm] $r=\frac{a}{2}$. [/mm] Setzt du auch dies ein so erhältst du schließlich die Funktion, die nur noch von einer Veränderlichen abhängt (bedenke: U ist keine Veränderliche, sondern vorgegeben) und die du nun untersuchen kannst:
[mm] $A(a)=a\left(\frac{U-a-\pi \frac{a}{2}}{2}\right)+\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2$
[/mm]
Schaffst du es nun, die zu analysieren?
Liebe Grüße,
Hanno
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