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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Do 26.07.2007 | | Autor: | maeksi |
| Aufgabe | | Ein Drehzylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Berechnen sie den minimalen materialverbrauch. lösen sie das beispiel allgemein und für 5 liter. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
die hauptbedingung und nebenbedingungen konnte ich aufstellen und hoffe das ich zumindest den anfang geschafft habe:)
HB: O=2r²Pi + 2rPi h + r²Pi
NB: V=r²Pi h + 2/3 r³Pi
h=15-2r³Pi/3r²Pi
NB in HB einsetzten: O(r) = 30 - 4r³Pi² / 3r +2r²Pi +r²Pi
stimmt das bisher? ich habe das beispiel schon 4 mal probiert und schaffe es einfach nicht zum richtigen ergebnis zu kommen. vielleicht mache ich auch einen fehler beim ableiten und nullsetzen.....
danke jedenfalls für eure hilfe!!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Do 26.07.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Ein Drehzylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Berechnen sie
> den minimalen materialverbrauch. lösen sie das beispiel
> allgemein und für 5 liter.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> die hauptbedingung und nebenbedingungen konnte ich
> aufstellen und hoffe das ich zumindest den anfang geschafft
> habe:)
>
> HB: O=2r²Pi + 2rPi h + r²Pi
Stimmt !
>
> NB: V=r²Pi h + 2/3 r³Pi
Stimmt auch !
>
> h=15-2r³Pi/3r²Pi
Das soll doch zuerst allgemein (nicht jetzt schon V = 5 setzen) gelöst werden. Die Nebenbedingung wird also nach h aufgelöst, also
h = (V - 2/3 pi r³) / pi r²
>
> NB in HB einsetzten: O(r) = 30 - 4r³Pi² / 3r +2r²Pi +r²Pi
>
Das ergibt dann
$ O(r) = [mm] 3\pi r^2 [/mm] + [mm] 2\pi r*\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2} [/mm] $
Kommt bei Dir dann auch $ r = [mm] \wurzel[3]{\bruch{3}{5}\bruch{V}{\pi}} [/mm] $ für das r mit minimaler Oberfläche heraus ?
Anmerkung : bei Deiner Schreibweise ist leider nicht immer ganz klar, was Zähler und Nenner des Bruches sind, daher besser Klammern verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Do 26.07.2007 | | Autor: | maeksi |
hallo sax, werde meine schreibweise verbessern:) bin so froh das mir jemand hilft:)
bei den lösungen steht KubikWurzel von 45 Pi V².
ich habe deine lösung oder die lösung vom skript noch nicht herausbekommen... fühle mich im moment als hoffnungsloser mathematikfall:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Do 26.07.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
Die Lösung des Skripts muss offenbar die gesuchte minimale Oberfläche sein, denn die dritte Wurzel aus einem Quadratvolumen ergibt als Einheit [mm] \wurzel[3]{(m^3)^2} [/mm] = [mm] m^2 [/mm] , also eine Flächeneinheit.
Man erhält diese Lösung folgendermaßen :
(ich lasse einige Zwischenschritte weg)
$ O(r) = [mm] \bruch{5}{3}\pi r^2 [/mm] + [mm] \bruch{2V}{r} [/mm] $
Differenzieren ergibt
$ O'(r) = [mm] \bruch{10}{3}\pi [/mm] r - [mm] \bruch{2V}{r^2}
[/mm]
O'(r) = 0 wird nach r aufgelöst und ergibt die oben angegebene Lösung für r.
Dieses r wird bei O(r) eingesetzt, man erhält
$ [mm] O_{min} [/mm] = [mm] \bruch{5}{3}\pi [/mm] * [mm] (\bruch{3}{5}\bruch{V}{\pi})^\bruch{2}{3} [/mm] + [mm] 2V*(\bruch{3}{5}\bruch{V}{\pi})^\bruch{-1}{3} [/mm] $
Das kann zur Lösung des Skripts umgeformt werden.
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