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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Di 08.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Gammaverteilungen bilden eine exponentielle Familie. |
Also die Gammaverteilung [mm] \Gamma [/mm] _{a,b} hat ja die Dichte:
[mm] p(x)=\bruch{1}{a^b\Gamma(b)} x^{b-1}e^{-\bruch{x}{a}} [/mm] x>0 a,b>0
Das muss man jetzt irgendwie so umstellen, dass man eine Funktion hat die von a,b abhängt und eine die von x abhängt, sowie eine e-Funktion mit dem Produkt von einer Funktion die von x abhängt und einer die von a,b abhängt in der Potenz stehen hat, habe ich das richtig verstanden?
also von der Form: g(x)c(a,b) [mm] e^{f(a,b)T(x)} [/mm]
Das habe ich versucht bin mir aber noch unsicher:
c(a,b)= [mm] \bruch{1}{a^b\Gamma(b)} [/mm]
[mm] g(x)=e^{-\bruch{x}{a}} [/mm]
f(a,b)=b-1
T(x)=ln(x)
Stimmt das so, oder habe ich mcih vertan?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jumape |
Erst mal vielen Dank für deine Hilfe leider ist mir da immer noch einiges nicht ganz klar.
Ich habe ja jetzt a fest, heißt dass dann, dass in der Formel statt [mm] \mu [/mm] a steht? Oder muss man das dann anders betrachten?
Haben die da alles in den Exponenten von e geholt? Warum?
Ich muss gestehen, dass ich das nicht so ganz nachvollziehen kann.
Habe ich die Funktion grundsätzlich falsch aufgestellt oder fehlt mir einfach eine Umformung um das a aus der Funktion für x zu entfernen?
Es wäre super wenn mir nochmal jemand einige dieser Fragen beantworten könnte.
Liebe Grüße jumape
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 09.01.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich habe ja jetzt a fest,
"Fest" ist nicht das Kriterium. Die Frage ist, oob es bekannt ist oder nicht.
> Haben die da alles in den Exponenten von e geholt? Warum?
Um es auf die Form der Exponentialfamilie zu bringen.
Es ist ja
$ [mm] p(x)=\bruch{1}{a^b\Gamma(b)} x^{b-1}e^{-\bruch{x}{a}}=\bruch{1}{a^b\Gamma(b)} e^{(b-1)\ln x-\bruch{x}{a}} [/mm] $
Wenn a und b unbekannt sind, so kriegst du nicht die Darstellung $g(x)c(a,b) [mm] e^{f(a,b)T(x)} [/mm] $ hin.
vg Luis
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Hallo Luis,
ich hab irgendwie noch nicht ganz verstanden wie man zeigt,dass es sich um eine exponentielle Familie handelt.also ich weiß wohl dass man die dichte erstmal auf e-Form bringen muss.aber dann????vorallem wenn 2 parameter unbekannt sind,wei bei der gammaverteilung
es wär super nett wenn du mir helfen könntest
vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 10.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin mathestudentin,
ich gehen mal aus von der Darstellung ![[]](/images/popup.gif) hier.
Die Gammaverteilung haengt von zwei Paramtern ab, a,b. Wie wir gesehen
haben, koennen wir die Dichte schreiben in der Form
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{a^b\Gamma(b)} e^{(b-1)\ln x-\bruch{x}{a}}\chi_{(x>0)}(x) [/mm] $
Dabei ist [mm] $\chi_{(x>0)}$ [/mm] ist die charakteristische Funktion mit
[mm] $\chi_{(x>0)}(x)=1$ [/mm] fuer $x>0$ und [mm] $\chi_{(x>0)}(x)=0$ [/mm] sonst.
Die Dichte besitzt die zweite Darstellung mit [mm] $A(a,b)=\exp(-\ln(a^b\Gamma(b)))$, [/mm]
[mm] $\eta_1(a,b)=(b-1)$, $\eta_2(a,b)=1/a$, $T_1(x)=\ln [/mm] x$, [mm] $T_2(x)=-x$, $h(x)=\chi_{(x>0)}(x)$.
[/mm]
vg
Luis
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super,dankeschön.ist ja garnicht so schwer:)
schönen abend noch,vg
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