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expliz.Darstell.Parameterkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Fr 15.08.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Parameterkurve und bestimmen Sie die explizite Darstellung wenn möglich:
[mm] x(t)=sinh^2(t); y(t)=cosh^2(t) t\in\IR [/mm]

[]Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung 1 die ihren Urspung in (0/1) hat also müsste ja eine simple Geradengelichung rauskommen, oder kann ich für die explizite Darstellung direkt schreiben:
y=x+1 mit [mm] x\in \IR^+ [/mm] ?

(Woran erkenne ich überhaupt ob eine explizite Darstléllung möglich ist?)

Die Rechnung ist nämlich relativ viel Schreiberei:

habe [mm] x(t)=sinh^2(t) [/mm] nach t aufgelöst:

[mm] \sqrt{x}=sinh(t) [/mm]
[mm] arsinh(\sqrt{x})=t [/mm]

und
[mm] arsinh(\sqrt{x})=ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) [/mm]


dann in [mm] y=cosh^2(t) [/mm] einsetzen:

[mm] y=cosh^2(arsinh(\sqrt{x}))=\left(\bruch{1}{2}*e^{ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{e^{-ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}}\right)^2 [/mm]

[mm] y=\left(\bruch{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}+\bruch{1}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

Dann habe ich den Hauptnenner gebildet damit ich das alles auf einen Bruch schreiben kann:

[mm] y=\left(\bruch{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)+2}{4*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)+1}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{x+\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+x}+x+2}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{2*(x+\sqrt{x^2+x}+1)}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{x+\sqrt{x^2+x}+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\right)^2 [/mm]

Jetzt könnte ich noch:

[mm] =\left(\bruch{\sqrt{x}*(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})+1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)^2 [/mm]

schreiben und dann:

[mm] y=\left(\sqrt{x}+\bruch{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)^2 [/mm]

um dann schließlich zu quadrieren:

[mm] y=x+\bruch{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}+\bruch{1}{2*\sqrt{x^2+x}+2*x+1} [/mm]

Das könnte ich das ja wieder auf einen Hauptnenner bringen und evtl so vereinfachen bis dann irgendwann meine Geradengleichung rauskommt.
ALso reicht das mit
y=x+1 mit [mm] x\in \IR^+ [/mm] um sich die Rechnerei hier zu sparen?
Danke und besten Gruß,
tedd [ok]
        
Bezug
expliz.Darstell.Parameterkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Fr 15.08.2008
Autor: Somebody


> Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Parameterkurve und
> bestimmen Sie die explizite Darstellung wenn möglich:
>  [mm]x(t)=sinh^2(t); y(t)=cosh^2(t) t\in\IR[/mm]
>  
> []Der Graph
> ist eine Gerade mit der Steigung 1 die ihren Urspung in
> (0/1) hat also müsste ja eine simple Geradengelichung
> rauskommen, oder kann ich für die explizite Darstellung
> direkt schreiben:
>  y=x+1 mit [mm]x\in \IR^+[/mm] ?
>  
> (Woran erkenne ich überhaupt ob eine explizite Darstlellung
> möglich ist?)

Indem Du die Darstellung explizit zu machen versuchst ... und dabei Erfolg hast ;-)

> Die Rechnung ist nämlich relativ viel Schreiberei:

Nein, das geht, unter Verwendung von [mm] $\cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$, [/mm] d.h. [mm] $\cosh^2(x)=\sinh^2(x)+1$, [/mm] in einer einzigen Zeile:

[mm]y=\cosh^2(t)=\sinh^2(t)+1=x+1[/mm]
Bezug
                
Bezug
expliz.Darstell.Parameterkurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:55 Fr 15.08.2008
Autor: tedd

Oh arghhh ...

Warum einfach, wenn's auch schwer geht.

[lichtaufgegangen]

Danke Somebody :D
Bezug
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