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| Aufgabe | Es sei a [mm] \in \IC. [/mm] Beweisen Sie, dass
[mm] \bruch{d exp(ax)}{dx} [/mm] = a*exp(ax) [mm] \in \IC [/mm]
für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt. |
Kann mir da jemand helfen? Also die Kettenregel kann ich da ja wohl nicht verwenden....aber wie gehts dann??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei a [mm]\in \IC.[/mm] Beweisen Sie, dass
>
> [mm]\bruch{d exp(ax)}{dx}[/mm] = a*exp(ax) [mm]\in \IC[/mm]
> für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt.
> Kann mir da jemand helfen? Also die Kettenregel kann ich
> da ja wohl nicht verwenden....aber wie gehts dann??
doch, wenn schon bekannt ist, dass [mm] $\frac{d \exp(x)}{dx}=\exp(x)$ [/mm] gilt und ihr die Kettenregel schon behandelt habt (für Funktionen [mm] $\IR \to \IK$ [/mm] mit [mm] $\IK \in \{\IR,\IC\}$). [/mm] Vermutlich habt ihr das aber noch nicht bewiesen, oder?
Wie habt ihr denn die Exponentialfunktion eingeführt? Hier gibt es nämlich mehrere Möglichkeiten:
Die [mm] $\exp(.)$ [/mm] als Potenzreihe, dann weiß' man, dass Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzkreises lokal glm. konvergieren und dann darf man [mm] $\frac{d}{dx} \sum_{k=0}^\infty ...=\sum_{k=0}^\infty \frac{d}{dx}...$ [/mm] benutzen (also die Differentiation "summandenweise" machen, bzw. m.a.W.: "In die Reihe ziehen.").
Zudem könnte man hier auch (bei [mm] $\lim_{h \to 0}...$ [/mm] soll stets $h [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] gelten) für jedes feste $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{\exp(a*(x+h))-\exp(a*x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\exp(ax)*\exp(ah)-\exp(ax)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\exp(ax)(\exp(ah)-1)}{h}=\exp(ax)*\lim_{h \to 0} \frac{\exp(ah)-1}{h}$
[/mm]
benutzen. Was solltest Du dann noch für [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{\exp(ah)-1}{h}$ [/mm] beweisen, und wie könntest Du das?
(Reihendarstellung von [mm] $\exp(.)$, [/mm] oder:
benutze (im unten stehenden Symbol soll stets $w [mm] \in \IC \setminus\{0\}$ [/mm] gelten):
[mm] $\lim_{w \to 0}\frac{\exp(w)-1}{w}=1$.... [/mm] fallen mir da stichwortartig ein... (Hospital bedürfte wohl selbst der oben zu beweisenden Gleichheit...)).
P.S.:
Bei der letzten Rechnung mit [mm] $\lim_{h \to 0}...$ [/mm] sollte natürlich schon bekannt sein, dass auch [mm] $\exp(v+w)=\exp(v)*\exp(w)$ [/mm] für $v,w [mm] \in \blue{\IC}$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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