existenz einer basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Sei [mm] \phi [/mm] ein Endomorphismus eines 2-dim K-Vektorraumes V mit dem char. Poly. [mm] (t-a)^2, [/mm] (a [mm] \in [/mm] K). Man zeige, dass es eine Basis von V gibt, so dass die Matrix von [mm] \phi [/mm] entweder die Gestalt [mm] \pmat{ a & 1 \\ 0 & a } [/mm] oder [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] hat. |
Hallo MatheRaum,
normalerweise würde ich die Basis aus den Eigenvektoren der Matrix von [mm] \phi [/mm] bilden. Hier hat das charakteristische Polynom allerdings eine doppelte Nullstelle, sodass die Eigenvektoren nicht nur linear abhängig sind sondern sogar gleich sind. Somit kann man aus den Eigenvektoren keine Basis bilden.
Hat jemand einen Tip für mich?
Gibt es einen Satz allà: Falls... => Basis existiert sodass Matrix die Form...?
Mein Problem: Ich verstehe das Problem noch nicht ganz. Für mich scheint es "normal", dass die Basis existiert, sodass die Matrizen die gewünschte Gestalt haben. Immerhin hat man die Matrizen ja auch hinschreiben können, ergo => Basis exsistiert. Kann mir jemand evtl. auch noch das Problem verdeutlichen?
Gruß,
Rutzel
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> Sei [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus eines 2-dim K-Vektorraumes V
> mit dem char. Poly. [mm](t-a)^2,[/mm] (a [mm]\in[/mm] K). Man zeige, dass es
> eine Basis von V gibt, so dass die Matrix von [mm]\phi[/mm] entweder
> die Gestalt [mm]\pmat{ a & 1 \\ 0 & a }[/mm] oder [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }[/mm]
> hat.
> normalerweise würde ich die Basis aus den Eigenvektoren der
> Matrix von [mm]\phi[/mm] bilden. Hier hat das charakteristische
> Polynom allerdings eine doppelte Nullstelle, sodass die
> Eigenvektoren nicht nur linear abhängig sind sondern sogar
> gleich sind. Somit kann man aus den Eigenvektoren keine
> Basis bilden.
Hallo,
das stimmt nicht in jedem Fall.
Es kommt auf die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert a an.
Ist die Dimension des Eigenraumes =2, so hast Du zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum EW a und kannst damit prima diagonalisieren.
Ist die Dimension des Eigenraumes =1, bekommst Du in der Tat keine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] aus Eigenvektoren.
Sollst Du ja auch gar nicht, denn Deine 2.Matrix hat die Gestalt [mm] \pmat{ a & 1 \\ 0 & a }.
[/mm]
Du brauchst also einen Eigenvektor [mm] v_1 [/mm] (das sagt Dir die erste Spalte) und einen dazu linear unabhängigen Vektor [mm] v_2, [/mm] für welchen gilt [mm] \Phi (v_2)=v_1 [/mm] + [mm] a*v_2.
[/mm]
Zu zeigen, daß es so einen gibt, ist Deine Aufgabe.
(Wenn Du das mit einem Satz erschlagen willst, reicht ein Hinweis auf die Jordannormalform, aber ich denke nicht, daß die Aufgabe so gemeint ist. Außerdem entnehme ich Deinen Fragen, daß Ihr so weit noch nicht seid.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
hallo angela,
in der tat sagt mir die jordansche normalform nur von wikipedia etwas.
wegen [mm] \pmat{ a & 1 \\ 0 & a }
[/mm]
würde ich für den ersten basisvektor sagen: [mm] b_1=(1,0)
[/mm]
wie kommst du auf [mm] \Phi (v_2)=v_1 [/mm] + [mm] a\cdot v_2 [/mm] ?
ich habe verstanden, dass die bilder der basisvektoren in den spalten stehen. nützt mir das bei dieser aufgabe überhaupt etwas?
aber warum ist [mm] \Phi (v_2) [/mm] die summer der beiden vektoren und warum multiplizierst du den zweiten vektor [mm] v_2 [/mm] mit dem eigenwert?
du siehst, ich weiß zwar, dass ich zeigen muss, dass es eine basis gibt, jedoch ist mir das "ziel" trotzdem überhaupt nicht klar. zeige ich die existenz, indem ich eine basis explizit angeben?
müssen beide gestalten der matrizen von [mm] \phi [/mm] bezüglicher einer einzigen basis "gleichzeitig" möglich sein? wie kann dies sein? wenn doch in den spalten die koordinaten der bilder der basisvektoren stehen, müsste eine matrix bezüglicher einer basis doch eindeutig sein.
Gruß,
Rutzel
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> [mm]\pmat{ a & 1 \\ 0 & a }[/mm]
>
>
> wie kommst du auf [mm]\Phi (v_2)=v_1[/mm] + [mm]a\cdot v_2[/mm] ?
>
> ich habe verstanden, dass die bilder der basisvektoren in
> den spalten stehen. nützt mir das bei dieser aufgabe
> überhaupt etwas?
Hallo,
ja.
Wir betrachten ja jetzt gerade den Fall, daß der Eigenraum eines uns vorliegenden Endomorphismus [mm] \phi [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] P_{\phi}(t)=(t-a)^2 [/mm] die Dimension 1 hat.
Die Behauptung ist:
Es gibt eine Basis, bzgl. derer die darstellende Matrix von [mm] \phi [/mm] die Gestalt [mm] \pmat{ a & 1 \\ 0 & a } [/mm] hat.
Übersetzt:
Behauptung:
es gibt zwei Vektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] so, daß [mm] \phi(b_1)=ab_1 [/mm] und
[mm] \phi(b_2)=b_1+ab_2 [/mm] ist.
Das habe ich direkt aus den beiden Spalten der Matrix abgelesen.
Ich gebe Dir jetzt mal ein paar Hinweise zum Beweis:
a ist Eigenwert von [mm] \phi, [/mm] der Eigenraum ist eindimensional.
Also gibt es ein [mm] b\not=0 [/mm] mit [mm] Eig_a=.
[/mm]
Du kannst diesen Vektor durch einen Vektor [mm] b_2 [/mm] zu einer Basis von V ergänzen.
Nun kannst Du Dir überlegen, daß [mm] b_1:=(\phi-a*id)b_2 [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \phi [/mm] ist.
(Hamilton-Cayley verwenden)
Dann rechne vor, daß [mm] \phi(b_2)=b_1+ab_2 [/mm] ist.
Damit ist dann [mm] (b_1,b_2) [/mm] eine Basis, die's tut.
--
> müssen beide gestalten der matrizen von $ [mm] \phi [/mm] $ bezüglicher einer einzigen basis "gleichzeitig"
> möglich sein?
Nein, natürlich nicht.
Den ersten Fall kann man doch schnell abhandeln - hatte ich Dir ja auch schon gesagt:
Wenn der Eigenraum die Dimension 2 hat, hast Du eine Basis aus Eigenvektoren, und bzgl derer hat die darstellende Matrix v. [mm] \phi [/mm] Diagonalgestalt.
Der Fall, den ich oben besprochen habe, ist der, daß die Dimension des Eigenraumes =1 ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 01.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
hallo angela,
danke für deine antwort. jetzt hats "klick" gemacht.
gruß,
rutzel
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