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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Do 29.12.2005 | | Autor: | Daene111 |
| Aufgabe | Sei E:=(E1(x,y),E2(x,y) ein elektrisches Feld, das ein Potential U hat, d.h. E=-NablaU
Zeigen sie, dass sich aus der Gleichung der Äquipotentiallinien
U(x,y(x))=konst
folgende Differentialgleichung für das elektrische Feld herleiten lässt:
E1(x,y(x))+E2(x,y(x))*y´(x)=0 |
Wenn ich Nabla auf U anwende und das Skalarprodukt ausführe folgt doch
[mm] \vektor{ \bruch{d}{dx} \\ \bruch{d}{dy}}* \vektor{U1(x,y(x)) \\ U2(x,y(x))}= \bruch{d}{dx}*U1(x,y(x))+\bruch{d}{dy}*U2(x,y(x))=0 [/mm] ,da U=konst
bisher ist alles klar also für mich. Nach meinem Verständnis der Ableitungsregeln oder Äquivalenzumformungen mit den Differentialen komme ich aber immer auf
Daraus folgt aber, dass ich U1 und U2 vertauschen müsste um auf die Gleichung wie in der Aufgabe beschrieben zu kommen.
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Do 29.12.2005 | | Autor: | Daene111 |
Ja hab wohl irgendwie was verplant sorry ist mein erstes Posting.
Das Fehlte
y´(x)*U1(x,y(x))+ U2(x,y(x))=0
Darauf komme ich durch multiplikation mit dy=> dy/dx =y´(x)
oder wenn ich mir einfach vorstelle, dass ich U1(x,y(x)) nach x ableite und U2(x,y(x)) nach y ableite.
Meine Frage ist eigentlich nur, wieso y´(x) in der Aufgabe als Faktor bei U2(x,y(x)) steht. Das kann ich mir nicht erklären oder ist das einfach nur die Definition einer exakten Differentialgleichung und ich zerbrich mir umsonst den Kopf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Do 29.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Daene111
Deine Potentialfunktion ist falsch, es ist eine skalare Funkion
d.h. U=U(x,y) und es gilt
[mm] $E_1(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}U(x,y)$ [/mm] und
[mm] $E_2(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}U(x,y)$
[/mm]
Ist $y(x)$ eine Aequipotentiallinie, dann ist U entlang dieser Linie konstant,
d.h. die Funktion [mm] $g(x)=U(x,y(x))=\mathrm{const}$ [/mm] ist konstant.
Also muss [mm] $\frac{d}{dx}g(x)=0$ [/mm] sein. Das liefert
[mm] $\frac{d}{dx}\Bigl( [/mm] U(x,y(x)) [mm] \Bigr)=\frac{\partial }{\partial x}\Bigl(U(x,y(x))\Bigr)+\frac{\partial }{\partial y}\Bigl(U(x,y(x))\Bigr)\cdot [/mm] y'(x)=0$
Diese Ableitung ist nichts anderes als dieverallgemeinerte Kettenregel auf Funktionen von mehreren Variablen:
[mm] $\frac{d}{dt}\Bigl(U(x(t),y(t))\Bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(U(x(t),y(t))\Bigr) \frac{d}{dt}x(t)+\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(U(x(t),y(t))\Bigr) \frac{d}{dt}y(t)$
[/mm]
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Do 29.12.2005 | | Autor: | Daene111 |
Vielen Dank
Da hab ich mich ja völlig in etwas verrannt. Jetzt ist es mir klar geworden. Das werd ich fast nie mehr falsch machen.
Dankeschön für eure Mühen.
Mfg Daene
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