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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Di 28.06.2005 | | Autor: | Phobos |
Hallo. Auf einem unserer Übungsblätter taucht folgende Aufgabe auf:
Es seien [mm] P,Q\in C^1(\IR^2)
[/mm]
Existiert eine Funktion h: [mm] \IR\to\IR [/mm] mit [mm] h(xy)=\bruch{P_y(x,y)-Q_x(x,y)}{xP(x,y)-yQ(x,y)}
[/mm]
(Mit anderen Worten: [mm] \bruch{P_y-Q_x}{xP-yQ} [/mm] hängt nur von xy ab), so ist [mm] (x,y)\mapsto [/mm] M(xy) mit M = [mm] e^{-\integral_{}^{} {h(t) dt}} [/mm] ein integrierender Faktor der DGL P+Qy'=0
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß was die von mir wollen. Kann mir das jemand übersetzen :) ? Soll ich zeigen, dass dieses M wirklich ein integrierender Faktor ist?? Wenn ja wär ein kleiner Tipp wie man da ansetzt super.
Gruß Phobos
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Hallo Phobos,
> Es seien [mm]P,Q\in C^1(\IR^2)[/mm]
> Existiert eine Funktion h:
> [mm]\IR\to\IR[/mm] mit
> [mm]h(xy)=\bruch{P_y(x,y)-Q_x(x,y)}{xP(x,y)-yQ(x,y)}[/mm]
> (Mit anderen Worten: [mm]\bruch{P_y-Q_x}{xP-yQ}[/mm] hängt nur von
> xy ab), so ist [mm](x,y)\mapsto[/mm] M(xy) mit M =
> [mm]e^{-\integral_{}^{} {h(t) dt}}[/mm] ein integrierender Faktor
> der DGL P+Qy'=0
Damit diese DGL zu einer exakten DGL wird, muß diese ein vollstaendiges Differential darstellen:
[mm]\begin{gathered}
P(x,y)\;dx\; + \;Q(x,y)\;dy\; = \;0 \hfill \\
M(x,y)\;P(x,y)\;dx\; + \;M(x,y)\;Q(x,y)\;dy\; = \;0 \hfill \\
F_{x} \; = \;M(x,y)\;P(x,y) \hfill \\
F_{y} \; = \;M(x,y)\;Q(x,y) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß was die von mir
> wollen. Kann mir das jemand übersetzen :) ? Soll ich
> zeigen, dass dieses M wirklich ein integrierender Faktor
> ist?? Wenn ja wär ein kleiner Tipp wie man da ansetzt
> super.
So und jetzt gilt nach dem Satz von Schwarz:
[mm]\frac{{\delta F_x }}
{{\delta y}}\; = \;\frac{{\delta F_y }}
{{\delta x}}[/mm]
Daraus erhältst Du dann die oben genannten Gleichungen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Di 28.06.2005 | | Autor: | Phobos |
ok. soweit isses klar. allerdings wie man von [mm] F_{xy} [/mm] = [mm] F_{yx} [/mm] auf die h(xy)=... kommt ist mir schleierhaft. Wie soll ich denn z.B. M(x,y)P(x,y) nach y ableiten? Ich weiß doch garnicht wie M eigentlich aussieht.
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