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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 24.01.2006 | | Autor: | fiselius |
| Aufgabe | | Man zeige mit Hilfe Riemannscher Summen und des Grenzwertes lim(x-->0)x/(e^(x)-1)=1, dass für alle a>0 gilt: Integral von 0 bis a über [mm] e^x [/mm] ist gleich [mm] e^a [/mm] - 1. |
Hallo zusammen,
ich bin dabei o.g. Aufgabe zu lösen. Wenn ich die Obersumme S_(n) bilde, ergibt sich folgendes:
S = [mm] \bruch{a}{n} [/mm] ( [mm] e^{\bruch{a}{n}}+e^{\bruch{2a}{n}}+...+e^{\bruch{na}{n}})
[/mm]
Weiß nun jemand, wie ich diese Reihe zu einer Formel "ohne ..." zusammenfassen kann? Ich habe schon versucht mit dem natürlichen Logarithmus die Exponenten vom e zu trennen. Das geht aber natürlich nicht..;-/
Ich kann auch in Formelsammlungen keinen Eintrag finden, der mir die Lösung verrät.
Hoffentlich kann mir von euch jemand helfen. Ich bedanke mich jetzt schon.
Viele Grüße
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Di 24.01.2006 | | Autor: | moudi |
> Man zeige mit Hilfe Riemannscher Summen und des Grenzwertes
> lim(x-->0)x/(e^(x)-1)=1, dass für alle a>0 gilt: Integral
> von 0 bis a über [mm]e^x[/mm] ist gleich [mm]e^a[/mm] - 1.
> Hallo zusammen,
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> ich bin dabei o.g. Aufgabe zu lösen. Wenn ich die Obersumme
> S_(n) bilde, ergibt sich folgendes:
>
> S = [mm]\bruch{a}{n}[/mm] (
> [mm]e^{\bruch{a}{n}}+e^{\bruch{2a}{n}}+...+e^{\bruch{na}{n}})[/mm]
Hallo Christian
Das ist doch eine geometrische Reihe mit [mm] $q=e^{a/n}$, [/mm] denn [mm] $e^{2a/n}=(e^{a/n})^2$, [/mm] ... , [mm] $e^{na/n}=(e^{a/n})^n$ [/mm] (Potenzgesetz!)
mfG Moudi
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> Weiß nun jemand, wie ich diese Reihe zu einer Formel "ohne
> ..." zusammenfassen kann? Ich habe schon versucht mit dem
> natürlichen Logarithmus die Exponenten vom e zu trennen.
> Das geht aber natürlich nicht..;-/
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> Ich kann auch in Formelsammlungen keinen Eintrag finden,
> der mir die Lösung verrät.
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> Hoffentlich kann mir von euch jemand helfen. Ich bedanke
> mich jetzt schon.
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> Viele Grüße
> Christian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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