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| Aufgabe | Bestimmen SIe für folgende mengen jeweils die menge der inneren, äußeren punkte und der rendpunkte bzgl. der euklidischen metrik [mm] d_{2}:
[/mm]
a) [0, 1) |
meine frage wär, ob man z.b. für die inneren pkte die menge so angeben kann: IP= {x,y [mm] \in \IR: [/mm] |x-y|<1 [mm] \wedge [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x,y < 1} wobei x,y kein tupel ist sondern nur zwei beliebige elemente. jetzt würd mich interessieren ob man den zusatz nach dem "und" zeichen weglassen kann/muss? glaube nämlich fast, dass es hier nur um die menge beliebiger pkte geht, deren abstand zwischen 0 und 1 liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Bestimmen SIe für folgende mengen jeweils die menge der
> inneren, äußeren punkte und der rendpunkte bzgl. der
> euklidischen metrik [mm] d_{2}:
[/mm]
> a) [0, 1)
> meine frage wär, ob man z.b. für die inneren pkte die
> menge so angeben kann: IP= [mm]\{x,y\in \IR:[/mm] |x-y|<1 [mm]\wedge[/mm] 0
> [mm]\le x,y < 1\}[/mm] wobei x,y kein tupel ist sondern nur zwei
> beliebige elemente.
Die Definition der Menge ist Schmarn. Das ergibt doch gar keinen Sinn, wenn du [mm]\{ x,y \in \IR : ... \}[/mm] dastehen hast.
Schau dir nochmal die Definition von "innerer Punkt" an.
Dann beantworte die Fragen:
Ist 1/2 ein innerer Punkt von [0,1)?
Ist 0 ein innerer Punkt von [0,1)?
Wenn du das hast, dann kannst du alle anderen inneren Punkte von [0,1) auch angeben.
LG, Alex
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also dann nur IP= {x| [mm] 0\le [/mm] x <1} aber was hat das dann mit der angegebenen metrik zum tun?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> also dann nur IP= {x| [mm]0\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x <1} aber was hat das dann mit
> der angegebenen metrik zum tun?
Hallo,
wir brauchen die Definition von "innerer Punkt". Sie lautet?
Ohne die kommst Du nicht weiter.
Und mal rein anschaulich: weißt Du, was [0,1) bedeutet?
Wenn ja: findest Du wirklich, daß die 0 innen liegt? Kuschelig umgeben von anderen Punkten des Intervalls?
Gruß v. Angela
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def innerer pkt: y [mm] \in [/mm] Y innerer pkt, [mm] \gdw \exists \varepsilon [/mm] > 0 mit B(y, [mm] \varepsilon) \subseteq [/mm] Y
oh, sorry, dann eben dasselbe ohne der null? stimmt das?
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> def innerer pkt: y [mm]\in[/mm] Y innerer pkt, [mm]\gdw \exists \varepsilon[/mm]
> > 0 mit B(y, [mm]\varepsilon) \subseteq[/mm] Y
> oh, sorry, dann eben dasselbe ohne der null? stimmt das?
Hallo,
ja.
> def innerer pkt: y [mm]\in[/mm] Y innerer pkt, [mm]\gdw \exists \varepsilon[/mm]
> > 0 mit B(y, [mm]\varepsilon) \subseteq[/mm] Y
Du fragtest zuvor, wo die Metrik vorkommt.
Dann mußt Du jetzt als nächstes schauen, wie [mm] B(y,\varepsilon) [/mm] definiert ist. Da solltest Du Dir die Frage dann beantworten können.
Gruß v. Angela
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zur selben frage habe ich jetzt eine zweite menge: B(0,1)={ [mm] x\in \IR^{n}: [/mm] d(x,0)= [mm] \wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2} [/mm] <1 }
nun frag ich mich, ob folgendes richtig ist: innere pkte: { [mm] x\in \IR^{n}: [/mm] d(x,0)= [mm] \wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2} [/mm] <1 }
äußere punkte: { [mm] x\in \IR^{n}: [/mm] d(x,0)= [mm] \wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2} [/mm] >1 }
randpunkte: { [mm] x\in \IR^{n}: [/mm] d(x,0)= [mm] \wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2} [/mm] =1 }
und noch eine weitere Menge: [mm] \IQ \subseteq \IR
[/mm]
da weiß ich nicht so recht weiter: eigentlich gibt es doch da keine inneren punkte, da es nach def. ein epsilon >0 geben müsste, sodass für jeden solchen punkt q aus [mm] \IQ [/mm] gelten müsste: [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 mit [mm] B(q,\varepsilon) \subseteq \IQ
[/mm]
da aber doch [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt, liegt doch in jeder umgebung von q ein x [mm] \in \IR, [/mm] welches aber nicht aus [mm] \IQ [/mm] ist?! gibt es somit nur randpunkte oder seh ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 06.12.2009 | | Autor: | iks |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi sepp-sepp!
> zur selben frage habe ich jetzt eine zweite menge:
> $B(0,1):\{= x\in \IR^{n}| d(x,0)= \wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2}}<1\}$
>
> nun frag ich mich, ob folgendes richtig ist:
> innere pkte:
> $\{ x\in \IR^{n}| d(x,0)=\wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2}}<1\}$
> äußere punkte:
> $\{x\in \IR^{n}|d(x,0)=\wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2}>1\}$
> randpunkte:
> $\{x\in \IR^{n}|d(x,0)=\wurzel{(x_{1})^{2}+...+(x_{n})^2}=1\}$
>
meiner Meinung nach ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und noch eine weitere Menge: [mm]\IQ \subseteq \IR[/mm]
> da weiß
> ich nicht so recht weiter: eigentlich gibt es doch da keine
> inneren punkte, da es nach def. ein epsilon >0 geben
> müsste, sodass für jeden solchen punkt q aus [mm]\IQ[/mm] gelten
> müsste: [mm]\exists \varepsilon[/mm] > 0 mit [mm]B(q,\varepsilon) \subseteq \IQ[/mm]
>
> da aber doch [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt, liegt doch in jeder
> umgebung von q ein x [mm]\in \IR,[/mm] welches aber nicht aus [mm]\IQ[/mm]
> ist?! gibt es somit
erst einmal nur keine inneren Punkte
> nur randpunkte oder seh ich das falsch?
mit der selben Begründung aber expliziter Erwähnung dass in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] auch ein weiteres Element aus [mm] $\IQ$ [/mm] liegt wären das dann allerdings Randpunkte, wenn der zu Grunde liegende metrische Raum [mm] $X=\IR$ [/mm] ist.
mFg iks
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kann ich also sagen: Innere P.: [mm] \emptyset
[/mm]
Randp.: {x | x [mm] \in \IQ [/mm] }
Äußere P.: {x | x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] }
stimmt das? danke für eure hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mo 07.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> kann ich also sagen: Innere P.: [mm]\emptyset[/mm]
Richtig
> Randp.:$ [mm] \{ x | x \in \IQ \}$ [/mm]
Falsch. [mm] $\partial \IQ [/mm] = [mm] \IR$
[/mm]
> Äußere [mm] P.:$\{ x | x \in \IR$ \ $\IQ \}$
[/mm]
Falsch. [mm] \IQ [/mm] hat keine äußeren Punkte !
Du stocherst ziemlich im Nebel. Beachte: ist x [mm] \in \IR, [/mm] so enthält jede Umgebung von x rationale und auch irrationale Punkte
So und nun krame mal die Definition von "Randpunkt" uns "äußerer Punkt " hervor
FRED
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> stimmt das? danke für eure hilfe
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