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| Aufgabe | Sei $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel$ [/mm] eine beliebige Norm auf [mm] $\mathbb{R}^n$.
[/mm]
[mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel_2$ [/mm] bezeichne die euklidische Norm auf [mm] $\mathbb{R}^n$.
[/mm]
Beweisen Sie, dass es [mm] $c_1,c_2 [/mm] > 0$ derart gibt, dass
[mm] $c_1\parallel [/mm] x [mm] \parallel_2\leq\parallel x\parallel\leq c_2\parallel x\parallel_2$
[/mm]
für alle [mm] $x\in\mathbb{R}^^n [/mm] gilt, indem sie zunächst Folgendes Zeigen:
a) Es gibt ein $C>0$ so, dass [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel\leq C\parallel x\parallel_2 [/mm] $ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] gilt.
Hinweis: Darstellung von $x$ über eine Basis von [mm] $\mathbb{R}^n$.
[/mm]
b) Die Funkteion [mm] $f:\{ x\in \mathbb{R}^n | \parallel x \parallel_2=1\}\to \mathbb{R}, x\mapsto \parallel [/mm] x [mm] \parallel$ [/mm] nimmt ihr positives Minimum an. |
Halllo,
ich arbeite gerade an der Aufgabe hier oben, aber mir fehlt irgendwie der Ansatz und würde mich über Hilfe freuen.
Vielen Dank
DudiPupan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du musst schon die Eigenschaften einer Norm verwenden.
2. und den Tip [mm] x=\summe_{i=1}^{n}a_i*e_i e_i [/mm] die Basen vn [mm] R^n
[/mm]
fehlt da nicht ein [mm] c_2 [/mm] in deiner Ungleichung?
Gruss leduart
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> Hallo
> 1. du musst schon die Eigenschaften einer Norm verwenden.
> 2. und den Tip [mm]x=\summe_{i=1}^{n}a_i*e_i e_i[/mm] die Basen
Ist das Absicht, dass hier 2 Mal [mm] $e_i$ [/mm] steht?
> [mm]R^n[/mm]
> fehlt da nicht ein [mm]c_2[/mm] in deiner Ungleichung?
Ja, stimmt, entschuldigung, wurde korrigiert :)
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, das zweite [mm] e_i [/mm] ist ein Tipfehler
Gruss leduart
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