euklid./ unit. Vektorraum < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Do 08.05.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis der folgenden euklidischen/ unitären Vektorräume:
a) V = Hauptaum zum Eigenwert 0 der Matrix [mm] \pmat{ 2 & 4 & -7 & 25 \\ -1 & -2 & 9 &-21 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 3 } [/mm] mit dem durch das Standad-Skalarprodukt auf [mm] M(4x4,\IC)\cong\IC^{16} [/mm] induzierten Skalarprodukt.
b) [mm] V=\left\{f\in\IC[x] | deg{f}\le{n}, f(1)=0\right\} [/mm] mit dem Skalarprodukt [mm] \left\langle f,g \right\rangle [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x)\overline{g(x)} dx}.Beweisen [/mm] Sie zunächst, dass es sich hierbei um ein Skalarprodukt handelt.
c) V= Vektorraum der hermiteschen (3x3) Matrizen mit dem Skalarprodukt [mm] \left\langle A,B \right\rangle [/mm] =Spur(AB). Beweisen Sie zunächst, dass es sich hierbei um ein Skalarprodukt handelt.
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zunächst zu den Aufgabenteilen b) und c): Ich denke dass ich zeigen soll, dass die für ein Skalarprodukt geforderten Eigenschaften zutreffen, nämlich: Sesquilinearität, hermitesch und positive Definitheit.
Dann zur Aufgabe insgesamt: Eine Orthonormalbasis ist ja eine Basis, für die gilt: [mm] \left\langle v_i, v_j \right\rangle= \delta_{ij} [/mm] mit [mm] \delta_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not=j \end{cases}; [/mm] d.h. Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander und sind normiet, also von Länge 1. Stimmt das so?
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> zunächst zu den Aufgabenteilen b) und c): Ich denke dass
> ich zeigen soll, dass die für ein Skalarprodukt geforderten
> Eigenschaften zutreffen, nämlich: Sesquilinearität,
> hermitesch und positive Definitheit.
> Dann zur Aufgabe insgesamt: Eine Orthonormalbasis ist ja
> eine Basis, für die gilt: [mm]\left\langle v_i, v_j \right\rangle= \delta_{ij}[/mm]
> mit [mm]\delta_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not=j \end{cases};[/mm]
> d.h. Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander und
> sind normiet, also von Länge 1. Stimmt das so?
Hallo,
ja, das stimmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey,
also bei der Aufgabe a) habe ich einfach dieses Gram-Schmidt-Verfahren angewendet.
Zu der b):
Kann man [mm] f(x)*\overline{f(x)}als |f(x)|^2 [/mm] auffassen oder vertu ich mich da?
Wenn ja, wie kann ich dann für die positive definitheit aus [mm] \integral_{0}^{1}{|f(x)|^2 dx}=0 [/mm] folgern dass f(x) = 0 sein muss? Einfach weil allgemein |x|=0 <=> x=0 ist oder muss man das Integral noch mit einbeziehen? mh
Wie findet man überhaupt irgendeine Basis für [mm] V=\left\{f\in\IC[x] | deg{f}\le{n}, f(1)=0\right\} [/mm] ?
Ich kann mir das grad irgendwie gar nicht vorstellen
[mm] {1,x,x^2,x^3,...,x^n}ist [/mm] es doch nicht, oder?
zur c)
ist [mm] {\pmat{0 & \overline{a} & 0 \\ a &0&0\\0&0&0 },\pmat{0 & 0 & \overline{b} \\ 0 &0&0\\b&0&0}, \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 &0&\overline{c}\\0&c&0 }} [/mm] eine Basis für V = VR der hermitschen (3x3)-Matrizen?
Wie berechne ich denn nun die Norm von einer Matrix (für das Gram-Schmidt-Verfahren)?
Wäre dankbar für eine Antwort :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> also bei der Aufgabe a) habe ich einfach dieses
> Gram-Schmidt-Verfahren angewendet.
das sollte funktionieren.
> Zu der b):
> Kann man [mm]f(x)*\overline{f(x)}als |f(x)|^2[/mm] auffassen oder
> vertu ich mich da?
nein, du vertust dich nicht.
> Wenn ja, wie kann ich dann für die positive definitheit
> aus [mm]\integral_{0}^{1}{|f(x)|^2 dx}=0[/mm] folgern dass f(x) = 0
> sein muss? Einfach weil allgemein |x|=0 <=> x=0 ist oder
> muss man das Integral noch mit einbeziehen? mh
naja, die definition musst du schon mit einbeziehen. es handelt sich aber um das integral über eine stetige, nicht-negative funktion. angenommen diese ist in einem punkt ungleich null, so ist sie in einer umgebung ungleich null und und somit muss das integral ungleich null sein. das musst du nun nur noch formalisieren...
> Wie findet man überhaupt irgendeine Basis für
> [mm]V=\left\{f\in\IC[x] | deg{f}\le{n}, f(1)=0\right\}[/mm] ?
> Ich kann mir das grad irgendwie gar nicht vorstellen
> [mm]{1,x,x^2,x^3,...,x^n}ist[/mm] es doch nicht, oder?
nein, denn für diese funktionen gilt im allgemeinen nicht $f(1) = 0$. aber du kannst mit diesen funktionen beginnen, da sie eine basis eines etwas größeren vektorraums sind, und den unterraum, welcher durch die lineare gleichung $f(1) = 0$ beziehungsweise [mm] $\sum_{i=0}^n a_i [/mm] = 0$ (wenn die [mm] $a_i$ [/mm] die zu den [mm] $x^i$ [/mm] gehörigen koeffizienten sind) gegeben ist betrachten. dann solltest du eine basis aus $n$ elementen erhalten.
> zur c)
> ist [mm]{\pmat{0 & \overline{a} & 0 \\ a &0&0\\0&0&0 },\pmat{0 & 0 & \overline{b} \\ 0 &0&0\\b&0&0}, \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 &0&\overline{c}\\0&c&0 }}[/mm]
> eine Basis für V = VR der hermitschen (3x3)-Matrizen?
> Wie berechne ich denn nun die Norm von einer Matrix (für
> das Gram-Schmidt-Verfahren)?
diese basis stimmt so nicht. ist die einheitsmatrix hermitesch? kann man sie aus den gegeben matrizen linear kombinieren? wenn du aber für $a, b, c$ feste zahlen ungleich $0$ wählst hast du zumindest eine linear unabhängige teilmenge und damit einen teil einer basis.
die norm die du hier betrachtest, wird vom skalarpodukt (das in der aufgabe gegeben ist) induziert: [mm] $\|x\| [/mm] = [mm] \sqrt{\left}$.
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Vielen vielen Dank für deine Antwort!
Aber hab leider immer noch ein paar Fragen
Ich bekomm bei der b leider immer noch keine Basis hin
weil { [mm] a_o,a_1*x,...,a_n*x^n [/mm] | [mm] \forall [/mm] i: [mm] a_i \in \IC [/mm] fest und [mm] a_0+...+a_n [/mm] = 0}
ist ja keine formalschöne Basis und hat auch n+1 ELemente und nicht wie du meintest n Elemente.
geht bei der c als Basis denn
$ [mm] {\pmat{0 & \overline{a} & 0 \\ a &0&0\\0&0&0 },\pmat{0 & 0 & \overline{b} \\ 0 &0&0\\b&0&0}, \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 &0&\overline{c}\\0&c&0 }, \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0 &0& 1} | a,b,c \in \IC fest } [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich bekomm bei der b leider immer noch keine Basis hin
> weil
> ${ [mm] a_o,a_1*x,...,a_n*x^n [/mm] | [mm] \forall [/mm] i: [mm] a_i \in \IC [/mm] fest und [mm] a_0+...+a_n [/mm] = 0}$ (+)
> ist ja keine formalschöne Basis und hat auch n+1 ELemente
> und nicht wie du meintest n Elemente.
das ist auch keine basis, da zum beispiel für [mm] $a_1 \not=0$ [/mm] das element $a_1x$ gar nicht in dem raum liegt (werte dieses polynom an der stelle $1$ aus). aber die in (+) vorne angegeben polynome bilden eine basis eines größeren raums und du betrachtest den unterraum, welcher durch die hinten in (+) angegebene gleichung definiert wird und damit solltest du aus den anderen basis elementen eine basis basteln können. beachte, dass zum beispiel $1 - x$, $1 - [mm] x^2$ [/mm] und so weiter in dem betrachtete raum liegen und linear unabhängig sind. überlege dir, dass du so eine $n$-elementige linear unabhängige familie erhälst und weise nach, dass diese eine basis des betrachteten raums bilden.
> geht bei der c als Basis denn
> [mm]{\pmat{0 & \overline{a} & 0 \\ a &0&0\\0&0&0 },\pmat{0 & 0 & \overline{b} \\ 0 &0&0\\b&0&0}, \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 &0&\overline{c}\\0&c&0 }, \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0 &0& 1} | a,b,c \in \IC fest }[/mm]
>
lässt sich daraus $ [mm] \pmat{1&0&0\\0&0&0\\0 &0& 0}$ [/mm] linear kombinieren? über welchem körper wird dieser vektorraum überhaupt betrachtet?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
danke, ich werde mir später die b) noch einmal angucken und ausprobieren..
bei der c) steht nicht genau über welchen Körper wir den Vektoraum betrachten aber da es um "hermitesche Matrizen" geht, dachte ich mir dass es ein [mm] \IC-Vektorraum [/mm] ist..
oh man stimmt ich hab die Hauptdiagonale völlig außer acht gelassen..
A hermitsch => [mm] A^t [/mm] = [mm] \overline{A}
[/mm]
=> [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] \overline{a_{ji}}
[/mm]
das bedeutet dann für die Elemente der Hauptdiagonalen dass sie aus [mm] \IR [/mm] sein müssen, aber wie bezieh ich das in die Basis ein.. oh man ich steh immer noch auf dem Schlauch..
Basis:
[mm] \pmat{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0},\pmat{0&\overline{a}&0\\a&0&0\\0&0&0},\pmat{0&0&\overline{b}\\0&0&0\\b&0&0}
[/mm]
[mm] ,\pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\0&0&\overline{c}\\0&c&0},\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1}
[/mm]
wobei a,b,c [mm] \in \IC [/mm] fest (ich weiß nicht wie ich a,b,c durch andere Zahlen ersetzen könnte.. ist das denn wenigstens okay so?
aber die Koeffizienten von [mm] \pmat{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}und \pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1} [/mm] müssen aus [mm] \IR [/mm] sein.. wie schreib ich das?
*verzweifel*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> bei der c) steht nicht genau über welchen Körper wir den
> Vektoraum betrachten aber da es um "hermitesche Matrizen"
> geht, dachte ich mir dass es ein [mm]\IC-Vektorraum[/mm] ist..
das problem (das mir auch erst bei meiner letzten antwort aufgefallen ist) ist: das ist kein [mm] $\mathbb{C}$-vektorraum. [/mm] die einheitsmatrix [mm] $E_3$ [/mm] ist hermitesch, aber [mm] $iE_3$ [/mm] ist es nicht, die menge ist also nicht unter skalarmultiplikation abgeschlossen. wenn dann könnte man es als [mm] $\mathbb{R}$-vektorraum [/mm] betrachten, das kannst du ja in deiner lösung bemerken.
> oh man stimmt ich hab die Hauptdiagonale völlig außer acht
> gelassen..
> A hermitsch => [mm]A^t[/mm] = [mm]\overline{A}[/mm]
> => [mm]a_{ij}[/mm] = [mm]\overline{a_{ji}}[/mm]
> das bedeutet dann für die Elemente der Hauptdiagonalen
> dass sie aus [mm]\IR[/mm] sein müssen, aber wie bezieh ich das in
> die Basis ein.. oh man ich steh immer noch auf dem
> Schlauch..
> Basis:
>
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0},\pmat{0&\overline{a}&0\\a&0&0\\0&0&0},\pmat{0&0&\overline{b}\\0&0&0\\b&0&0}[/mm]
>
> [mm],\pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\0&0&\overline{c}\\0&c&0},\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1}[/mm]
> wobei a,b,c [mm]\in \IC[/mm] fest (ich weiß nicht wie ich a,b,c
> durch andere Zahlen ersetzen könnte.. ist das denn
> wenigstens okay so?
> aber die Koeffizienten von
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&0&0\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&0}und \pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&1}[/mm]
> müssen aus [mm]\IR[/mm] sein.. wie schreib ich das?
also das geht jetzt schon sehr in die richtige richtung. falls du nun eine basis als [mm] $\mathbb{R}$-untervektorraum [/mm] des $18$-dimensionalen [mm] $\mathbb{R}$-vektorraums $\mathbb{C}^{3 \times 3}$ [/mm] suchst, kannst du das fast so machen, musst nur bei den matrizen mit einträgen außerhalb der diagonalen nach real- und imaginärteil sortieren. du solltest dann eine basis aus $9$ elementen finden.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Ich danke dir echt noch mal für deine Hilfe :)
Ich habs jetzt hinbekommen - wenn auch mit viel Rechenaufwand weil ich nicht weiß wie ich anders agumentieren kann.
aber daaanke
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:54 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
zur b)
okay ich bin jetzt so weit dass ich { 1-x, [mm] 1-x^2, [/mm] ..., [mm] 1-x^n [/mm] }={ [mm] v_1,v_2,..,v_n [/mm] } als Basis habe
Jetzt möchte ich ja eine Orthonormalbasis bestimmen.
Funktioniert hier auch das Gram-Schmidt-Verfahren?(da es ja n Basisvektoren sind und keine bestimmte Zahl)
[mm] \parallel(1-x)\parallel [/mm] = [mm] \wurzel(\bruch{1}{3})
[/mm]
[mm] u_1 =\bruch{1-x}{\parallel(1-x)\parallel} [/mm] = [mm] \wurzel(3)*(1-x)
[/mm]
Wenn das ein Orthonormalbasisvektor ist, muss [mm] = [/mm] 1 gelten. Dies gilt auch, also:
[mm] Betrachte:<1-x^2,\wurzel(3)*(1-x)>=\integral_{0}^{1}{(1-x^2)*\overline{\wurzel(3)*(1-x)} dx}= 5*\wurzel(3)/12
[/mm]
[mm] u^\sim_2= (1-x^2) [/mm] - [mm] <1-x^2,\wurzel(3)*(1-x)> *\wurzel(3)*(1-x)= -x^2+1,25x-0,25
[/mm]
Betrachte: [mm] \parallel-x^2+1,25x-0,25\parallel [/mm] = [mm] \wurzel(\integral_{0}^{1}{(-x^2+1,25x-0,25)*\overline{-x^2+1,25x-0,25} dx}) [/mm] (partielle integration mit u'*v)
= [mm] \wurzel(-\integral_{0}^{1}{(-1/3x^3+0,625x^2-0,25x)*\overline{-2x+1,25}})
[/mm]
(kann man da man nur 1 und 0 für x einsetzt den konjugationsstrich weglassen?!)
[mm] =\wurzel(1/80)
[/mm]
[mm] u_2 [/mm] = [mm] \bruch{-x^2+1,25x-0,25 }{\parallel-x^2+1,25x-0,25\parallel} =\wurzel(80) (-x^2+1,25x-0,25)
[/mm]
Ist das bis hierhin okay?
Wie mach ich das denn dann bis n..
Das geht ja gar nicht :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
du hast recht, dass man da in schwierigkeiten kommt. vermutlich müsste man irgendwelche auftretenden muster sehen um dies für allgemeine $n$ mit dem gram-schmidt-verfahren machen zu können. vielleicht ist es hier auch einfacher mit einer anderen basis zu beginnen, die sich ohne viel rechenaufwand in eine orthonormalbasis umwandeln lässt. hattet ihr den in der vorlesung irgendwelche orthonromalbasen für den vektorraum der polynome vom höchstgrad $n$?
grüße
andreas
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:53 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
hey,
also schon die ersten 3 Vektoren nach dem Gram-Schmidt-Verfahren sehen sooo verschieden aus.. da seh ich echt kein Muster
und wir hatten leider auch keine Orthonormalbasis für Polynome..selbst über google hab ich eine solche nicht finden können.
Irendwie alles was komisch meiner Meinung nach :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
vielleicht muss man auch mit einer ganz anderen basis anfangen um etwas erreichen zu können: etwa $x - 1, [mm] x^2 [/mm] - x, [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2, [/mm] ...$ oder $(x-1), (x - [mm] 1)^2, [/mm] (x - [mm] 1)^3, [/mm] ...$. vielleicht erhält man dadurch schönere formen beim anwenden von gram-schmidt. ideal wäre natürlich - angesichst des skalarproduktes, wenn man beim produkt von zwei baisfunktionen stets etwas zu [mm] $(\frac{1}{2}, [/mm] 0)$ punktsymmetrisches erhält, aber das halte ich für ziemlich utopisch, das man so eine basis direkt sehen kann.
vielleicht kommst du mit diesen ansätzen etwas weiter oder jemand anders hat noch eine gute idee?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Do 15.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Oh danke!
Ich hatte keine Antworten mehr erwartet und deswegen nicht folgendes geschrieben:
Ich hatte den Assistenten vom Prof angeschrieben.. und daraufhin hat er aus dem "n" eine "3" gemacht:)
dh ich muss nur eine dreielementige Basis bestimmen.
Aber ich danke dir echt noch mal für deine ganze Hilfe!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mo 19.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mo 19.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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